Calcule o limite:
lim x a^+ cos x ln (x-a)ln (e^x-e^a)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto a^+cos x;ln(x-a)lnl(e^x-e^ar)
Isso é um caso de indeterminação -infty/(-infty). Vamos usar propriedades de exponencial e logaritmo e equivalências de funções quando xto a^+.

Passo 2

Reescrevemos o denominador usando
e^x-e^a=e^al(e^,x-a-1r)
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lnl(e^x-e^ar) =lnl(e^ar)+lnl(e^,x-a-1r) =a+lnl(e^,x-a-1r)

Passo 3

Para t=x-ato0^+ temos e^t-1sim t. Então
lnl(e^,x-a-1r) =ln t+ln!l(e^t-1tr) =ln(x-a)+o(1)
Portanto
lnl(e^x-e^ar) =a+ln(x-a)+o(1)

Passo 4

No numerador cos x,ln(x-a)=(cos a+o(1))ln(x-a). Assim
cos x;ln(x-a)lnl(e^x-e^ar) =(cos a+o(1))ln(x-a)a+ln(x-a)+o(1) =cos a+o(1)1+tfraca+o(1)ln(x-a)
Como ln(x-a)to-infty, tfraca+o(1)ln(x-a)to0 e o(1)to0. Logo o limite vale cos a.

Resposta

cos a

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