Para cada uma das seguintes equações autônomas determine e classifique as soluções de equilíbrio. Faça um esboço das possíveis soluções e descreva como vária o comportamento dependendo do valor da condição inicial y(0).
y^prime=y^2-(1-y)^2

Passo 1

O enunciado pede para determinar os pontos de equilíbrio da equação autônoma
y' = y^2 - (1 - y)^2
e classificá-los em termos de estabilidade. Também precisamos esboçar a linha de fase e descrever qualitativamente como as soluções variam conforme a condição inicial y(0).

Passo 2

Vamos simplificar o membro direito definindo f(y)=y^2-(1-y)^2. Temos
f(y)=y^2-l(1-2y+y^2r)=y^2-1+2y-y^2=2y-1

Passo 3

Os pontos de equilíbrio satisfazem f(y)=0. Assim,
2y-1=0 Longrightarrow y=tfrac12

Passo 4

Para classificar a estabilidade, calculamos f'(y). Como
f'(y)=ddy(2y-1)=2,
vemos que f'( tfrac12 )=2>0. Portanto y=tfrac12 é um ponto de equilíbrio não degenerado e instável (repulsor).

Passo 5

Na linha de fase unidimensional, colocamos o ponto y=tfrac12. Para y>tfrac12, f(y)=2y-1>0 e as setas apontam para a direita (crescimento de y). Para y<tfrac12, f(y)<0 e as setas apontam para a esquerda (decrescimento de y).

Passo 6

Para ver o comportamento em função de t, integramos
dydt=2y-1 Longrightarrow dy2y-1=dt
Fazendo a substituição u=2y-1, du=2,dy, obtemos
integral du2u= integral dt Longrightarrow 12lnlvert urvert =t+C Longrightarrow 2y-1=Ae^2t,
onde A=2y(0)-1. Logo
y(t)=1 + A,e^2t2

Passo 7

Da fórmula y(t)=l(1+A,e^2tr)/2 com A=2y(0)-1:
  • Se y(0)>tfrac12 então A>0 e y(t)to+infty conforme tto+infty.
  • Se y(0)<tfrac12 então A<0 e y(t)to-infty conforme tto+infty.
    Em todos os casos, ao irmos para tto-infty, Ae^2tto0 e y(t)totfrac12, mostrando que y=tfrac12 repulsa as soluções no futuro.

Resposta

O único equilíbrio é
y^*=12,
que é instável (repulsor). A linha de fase tem uma seta para a direita em y>tfrac12 e para a esquerda em y<tfrac12. Para y(0)>tfrac12, as soluções crescem e divergem para +infty; para y(0)<tfrac12, decrescem e vão a -infty. As soluções aproximam y=tfrac12 quando tto -infty.

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