Para cada uma das seguintes equações autônomas determine e classifique as soluções de equilíbrio. Faça um esboço das possíveis soluções e descreva como vária o comportamento dependendo do valor da condição inicial
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar os pontos de equilíbrio da equação autônoma
e classificá-los em termos de estabilidade. Também precisamos esboçar a linha de fase e descrever qualitativamente como as soluções variam conforme a condição inicial
.
Passo 2
Vamos simplificar o membro direito definindo
. Temos
Passo 3
Os pontos de equilíbrio satisfazem
. Assim,
Passo 4
Para classificar a estabilidade, calculamos
. Como
vemos que
. Portanto
é um ponto de equilíbrio não degenerado e instável (repulsor).
Passo 5
Na linha de fase unidimensional, colocamos o ponto
. Para
,
e as setas apontam para a direita (crescimento de
). Para
,
e as setas apontam para a esquerda (decrescimento de
).
Passo 6
Para ver o comportamento em função de
, integramos
Fazendo a substituição
,
, obtemos
onde
. Logo
Passo 7
Da fórmula
com
:
- Se
então e conforme . - Se
então e conforme .
Em todos os casos, ao irmos para, e , mostrando que repulsa as soluções no futuro.
Resposta
O único equilíbrio é
que é instável (repulsor). A linha de fase tem uma seta para a direita em
e para a esquerda em
. Para
, as soluções crescem e divergem para
; para
, decrescem e vão a
. As soluções aproximam
quando
.