Para cada uma das seguintes equações calcule uma raiz aproximada usando o método de Newton-Raphson com tolerância \varepsilon=0.5 \times 10^{-2} e trabalhe com 3 casas decimais considerando arredondamento.
\frac{x}{4}-\cos (x)=0

Passo 1

Temos a equação
f(x)=\frac{x}{4}-\cos(x)=0
e queremos uma raiz por Newton–Raphson com tolerância \varepsilon=0{,}5\times10^{-2}=0{,}005. Precisamos de
f'(x)=\frac{1}{4}+\sin(x).
Trabalharemos com três casas decimais em cada iteração, arredondando.

Passo 2

Escolhemos x_{0}=1{,}000. Calculamos
f(x_{0})=\frac{1{,}000}{4}-\cos(1{,}000)=0{,}250-0{,}540302\approx-0{,}290,
f'(x_{0})=\frac{1}{4}+\sin(1{,}000)=0{,}250+0{,}841471\approx1{,}091.
Então
x_{1}=x_{0}-\frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})} =1{,}000-\frac{-0{,}290}{1{,}091}\approx1{,}266.
A variação é \lvert x_{1}-x_{0}\rvert=0{,}266>0{,}005, segue.

Passo 3

Agora x_{1}=1{,}266.
f(x_{1})=\frac{1{,}266}{4}-\cos(1{,}266) =0{,}3165-0{,}2961\approx0{,}020,
f'(x_{1})=0{,}250+\sin(1{,}266) =0{,}250+0{,}9548\approx1{,}205.
x_{2}=1{,}266-\frac{0{,}020}{1{,}205}\approx1{,}250.
A variação é \lvert x_{2}-x_{1}\rvert=0{,}016>0{,}005, continua.

Passo 4

Agora x_{2}=1{,}250.
f(x_{2})=\frac{1{,}250}{4}-\cos(1{,}250) =0{,}3125-0{,}3160\approx-0{,}003,
f'(x_{2})=0{,}250+\sin(1{,}250) =0{,}250+0{,}94898\approx1{,}199.
x_{3}=1{,}250-\frac{-0{,}003}{1{,}199}\approx1{,}253.
A variação é \lvert x_{3}-x_{2}\rvert=0{,}003<0{,}005, logo atingimos a tolerância.

Resposta

A raiz aproximada é x\approx1{,}253.

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