Para cada uma das seguintes equações calcule uma raiz aproximada usando o método de Newton-Raphson com tolerância \varepsilon=0.5 \times 10^{-2} e trabalhe com 3 casas decimais considerando arredondamento.
\log (x)-\frac{\cos (x)}{2}=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma raiz aproximada da equação
\log(x) - \frac{\cos(x)}{2} = 0
usando o método de Newton–Raphson com tolerância \varepsilon = 0,5\times10^{-2} = 0,005 e trabalhando com três casas decimais (arredondando em cada valor).

Passo 2

Definimos
f(x) = \log(x) - \frac{\cos(x)}{2},
cuja derivada é
f'(x) = \frac{1}{x} + \frac{\sin(x)}{2}.
A fórmula iterativa de Newton–Raphson é
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.

Passo 3

Para escolher um palpite inicial x_0, avaliamos f em x=1{,}000 e x=2{,}000 (três casas decimais):
f(1{,}000)=\log(1{,}000)-\tfrac{\cos(1{,}000)}{2}\approx 0{,}000-0{,}270=-0{,}270<0,
f(2{,}000)=\log(2{,}000)-\tfrac{\cos(2{,}000)}{2}\approx 0{,}693-(-0{,}208)=0{,}901>0.
Como há mudança de sinal, existe raiz em (1{,}000,2{,}000). Escolhemos x_0=1{,}200 (três casas decimais).

Passo 4

Calculamos f(x_0) e f'(x_0) arredondando a três casas decimais: \log(1{,}200)\approx0{,}182, \cos(1{,}200)\approx0{,}362
f(1{,}200)=0{,}182 - \frac{0{,}362}{2}=0{,}182-0{,}181=0{,}001.
Também \sin(1{,}200)\approx0{,}932 e 1/1{,}200=0{,}833
f'(1{,}200)=0{,}833 + \frac{0{,}932}{2}=0{,}833+0{,}466=1{,}299.
Então
x_{1}=1{,}200 - \frac{0{,}001}{1{,}299} \approx 1{,}200 - 0{,}001 = 1{,}199,
arredondando a três casas decimais.

Passo 5

Verificamos o critério de parada:
\bigl|x_{1}-x_{0}\bigr| = |1{,}199 - 1{,}200| = 0{,}001 < 0{,}005,
logo a tolerância foi satisfeita e podemos interromper o processo.

Resposta

A raiz aproximada é x \approx 1{,}199.

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