De cada uma das seguintes equações deduzir as coordenadas do centro e os comprimentos dos semi-eixos.
x^2+4 y^2+z^2-4 x-8 y+8 z+15=0.

Passo 1

Temos a equação quadriculada x^2+4y^2+z^2-4x-8y+8z+15=0. O conteúdo é elipsoide em R^3 e vamos usar o método de completar quadrados para encontrar o centro e os semieixos.

Passo 2

Primeiro agrupamos os termos de cada variável: para x temos x^2-4x, para y temos 4y^2-8y e para z temos z^2+8z.

Passo 3

Agora completamos o quadrado em cada grupo e ajustamos as constantes:
Para x:
(x-2)^2 = x^2 -4x +4
Para y:
4(y-1)^2 =4(y^2-2y+1)=4y^2-8y+4
Para z:
(z+4)^2 = z^2+8z+16
Como adicionamos 4+4+16 ao completar quadrados, subtraímos 4+4+16 na equação original para manter a igualdade.

Passo 4

Substituindo essas expressões na equação original e simplificando as constantes, obtemos
(x-2)^2 +4(y-1)^2 + (z+4)^2 =9

Passo 5

Dividindo ambos os lados por 9 chega-se à forma padrão
(x-2)^29 + (y-1)^29/4 + (z+4)^29 =1
e comparando com
(x-x0)^2a^2 + (y-y0)^2b^2 + (z-z0)^2c^2=1
identificamos os parâmetros que definem o centro e os semieixos.

Resposta

Centro: (2,1,-4); comprimentos dos semieixos: a=3, b=3/2, c=3.

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