Completando os quadrados dos termos em x e y, localizar o vértice do parabolóide elíptico.
3 x^2+2 y^2-12 z-6 x+8 y-13=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o vértice do parabolóide elíptico dado pela superfície
de equação
3x^2+2y^2-12z-6x+8y-13=0
O conteúdo é completar quadrados nos termos em x e y para reescrever a superfície na forma canônica
z = A(x - x0)^2 + B(y - y0)^2 + z0, de onde lemos o vértice (x0,y0,z0).

Passo 2

Primeiro, agrupamos os termos em x e em y e isolamos o z:
3x^2-6x , +, 2y^2+8y , -,12z , -13 = 0
3(x^2-2x)+2(y^2+4y)-12z-13=0
Agora vamos completar o quadrado em cada grupo.

Passo 3

No grupo de x:
x^2-2x = (x-1)^2-1
No grupo de y:
y^2+4y = (y+2)^2-4
Substituindo de volta:
3l((x-1)^2-1r) + 2l((y+2)^2-4r) -12z -13 = 0
Distribuindo e juntando constantes:
3(x-1)^2 -3 + 2(y+2)^2 -8 -12z -13 = 0
3(x-1)^2 + 2(y+2)^2 -12z -24 = 0

Passo 4

Agora isolamos z:
-12z = -3(x-1)^2 -2(y+2)^2 +24
Dividindo por -12:
z = 312(x-1)^2 + 212(y+2)^2 -2
z = tfrac14(x-1)^2 + tfrac16(y+2)^2 -2
Esta é a forma canônica do parabolóide elíptico.

Passo 5

Na forma
z = tfrac14(x-1)^2 + tfrac16(y+2)^2 -2
o vértice é o ponto que anula os quadrados: x-1=0 e y+2=0, dando
(x0,y0,z0) = (1,-2,-2)

Resposta

(1, -2, -2)

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