Determinar as coordenadas do centro e discutir a natureza de cada uma das seguintes quádricas.
2 x^2-y^2-3 z^2-8 x-6 y+24 z-49=0.

Passo 1

Primeiro, a gente resumiu o enunciado: temos a quádricas da forma 2x^2 - y^2 -3z^2 -8x -6y +24z -49 = 0, e queremos encontrar o centro e classificar o tipo de superfície. O conteúdo aqui é completar quadrados para eliminar termos lineares e então usar sinais dos coeficientes para identificar a natureza.

Passo 2

Para achar o centro, vamos agrupar os termos por variável e completar quadrados. Começamos escrevendo a equação original em forma destacada:
2x^2-8x - y^2-6y - 3z^2+24z - 49 =0

Passo 3

Agora, completamos o quadrado em x:
2x^2-8x = 2l(x^2-4xr) = 2l((x-2)^2 -4r) = 2(x-2)^2 -8

Passo 4

Em y, temos:
-y^2 -6y = -l(y^2+6yr) = -l((y+3)^2 -9r) = -(y+3)^2 +9

Passo 5

E em z:
-3z^2 +24z = -3l(z^2-8zr) = -3l((z-4)^2 -16r) = -3(z-4)^2 +48

Passo 6

Substituindo essas expressões de volta na equação e somando as constantes:
$$
2(x-2)^2 -8

(y+3)^2 +9

3(z-4)^2 +48

49 = 0.
2(x-2)^2 - (y+3)^2 -3(z-4)^2 = 0.
$$

Passo 7

Da forma final 2X^2 -Y^2 -3Z^2 =0, com X=x-2, Y=y+3 e Z=z-4, vemos que os termos lineares sumiram graças à translação. Logo, o centro da quádricas é o ponto onde X=Y=Z=0, ou seja, (2,-3,4).

Passo 8

Para discutir a natureza, note que o termo independente da forma reduzida é zero e o sinal dos coeficientes de X^2, Y^2, Z^2 não é todo igual—temos um sinal positivo e dois sinais negativos. Isso caracteriza uma superfície degenerada do tipo cone quádruplo de vértice no centro. Mais precisamente, é um cone elíptico (porque a seção transversal para um valor fixo de Xne0 é elipse).

Resposta

Centro: (2,-3,4). Natureza: cone quádruplo de vértice em (2,-3,4), mais precisamente um cone elíptico.

Exercícios relacionados