Determinar as coordenadas do centro e discutir a natureza de cada uma das seguintes quádricas.
.
Passo 1
Primeiro, a gente resumiu o enunciado: temos a quádricas da forma
, e queremos encontrar o centro e classificar o tipo de superfície. O conteúdo aqui é completar quadrados para eliminar termos lineares e então usar sinais dos coeficientes para identificar a natureza.
Passo 2
Para achar o centro, vamos agrupar os termos por variável e completar quadrados. Começamos escrevendo a equação original em forma destacada:
Passo 3
Agora, completamos o quadrado em
:
Passo 4
Em
, temos:
Passo 5
E em
:
Passo 6
Substituindo essas expressões de volta na equação e somando as constantes:
$$
2(x-2)^2 -8
(y+3)^2 +9
3(z-4)^2 +48
49 = 0.
2(x-2)^2 - (y+3)^2 -3(z-4)^2 = 0.
$$
Passo 7
Da forma final
, com
,
e
, vemos que os termos lineares sumiram graças à translação. Logo, o centro da quádricas é o ponto onde
, ou seja,
.
Passo 8
Para discutir a natureza, note que o termo independente da forma reduzida é zero e o sinal dos coeficientes de
não é todo igual—temos um sinal positivo e dois sinais negativos. Isso caracteriza uma superfície degenerada do tipo cone quádruplo de vértice no centro. Mais precisamente, é um cone elíptico (porque a seção transversal para um valor fixo de
é elipse).
Resposta
Centro:
. Natureza: cone quádruplo de vértice em
, mais precisamente um cone elíptico.