Considere as quádricas Q e os planos pi dados abaixo. Determine a seção plana Q cap pi. Caso seja uma cônica, determine seus principais elementos.
Q: y^2+2 y-4 x^2+8 x=4 z+7 e pi: y=1.

Passo 1

Temos a quádricas Q: y^2+2y-4x^2+8x=4z+7 e o plano pi: y=1. O objetivo é achar a seção plana Qcappi e, por se tratar de uma cônica, determinar seus elementos principais (vértice, foco, diretriz e eixo).

Passo 2

Na interseção fazemos y=1 em Q. Substituindo, temos:
1^2+2cdot1-4x^2+8x=4z+7
Resolvendo para z:
3-4x^2+8x=4z+7
4z=-4x^2+8x-4
z=-x^2+2x-1

Passo 3

Reescrevendo em forma canônica de parábola, completamos o quadrado:
z=-(x^2-2x+1)=-(x-1)^2

Passo 4

Portanto a seção é uma parábola no plano y=1 dada por
xmapsto (x,1,-(x-1)^2)

Passo 5

Para essa parábola temos:
  • Vértice em (1,1,0), pois é obtido por x=1 e z=0.
  • Eixo paralelo ao vetor (0,0,-1), indicando que a parábola abre no sentido negativo de z.
  • Em coordenadas locais u=x-1 e w=z, a equação é u^2=-w, que equivale a u^2=4p,w com 4p=-1, logo p=-tfrac14.
  • Foco em (1,1,-tfrac14).
  • Diretriz (reta) no plano y=1 dada por z=tfrac14.

Resposta

A seção Qcappi é a parábola no plano y=1 descrita por z=-(x-1)^2, com vértice em (1,1,0), foco em (1,1,-tfrac14), diretriz z=tfrac14 e eixo paralelo a (0,0,-1).

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