Para cada uma das seguintes equaçōes diferenciais verifique que a equação dada é a solução geral da equação homogênea associada e depois ache uma solução particular da equação.
x^2 y^prime prime-2 x y^prime+2 y=x^3 ln x, x>0 ; yh=c1 x+c2 x^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo linear não homogênea:
x^2 y'' - 2x y' + 2 y = x^3 ln x
E a solução geral da parte homogênea já foi dada:
yh = c1 x + c2 x^2
O que precisamos fazer aqui é duas coisas:
  1. Verificar que realmente resolve a equação homogênea associada (ou seja, sem o termo do lado direito).
  2. Encontrar uma solução particular que resolva a equação completa com o termo no lado direito.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares, como encontrar soluções homogêneas e particulares. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se x^2 y'' - 2x y' + 2 y = 0 realmente resolve a equação homogênea associada. A equação homogênea é:
y' = c1 + 2c2 x
Vamos calcular as derivadas de y'' = 2c2:
  1. Derivada primeira:
x^2(2c2) - 2x(c1 + 2c2 x) + 2(c1 x + c2 x^2) = 0
2. Derivada segunda:
2c2x^2 - 2c1x - 4c2x^2 + 2c1x + 2c2x^2 = 0
Agora, substituímos (2c2x^2 - 4c2x^2 + 2c2x^2) + (-2c1x + 2c1x) = 0, 0 = 0 e na equação homogênea:

Vamos simplificar:
Somando os termos semelhantes:
Viu só? A equação se anula, confirmando que é realmente a solução geral da equação homogênea.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular x^2 y'' - 2x y' + 2 y = x^3 ln x para a equação completa:
yp = x^3(A ln x + B)
Como o lado direito é yp' = 3x^2(A ln x + B) + x^3 cdot Ax = 3A x^2 ln x + 3B x^2 + A x^2, vamos tentar uma solução do tipo:
yp'' = 6A x ln x + 6B x + 2A x
Aqui, x^2(6A x ln x + 6B x + 2A x) - 2x(3A x^2 ln x + 3B x^2 + A x^2) + 2(x^3(A ln x + B)) = x^3 ln x e x^2(6A x ln x + 6B x + 2A x) = 6A x^3 ln x + 6B x^3 + 2A x^3 são constantes que precisamos determinar.
Vamos calcular as derivadas de -2x(3A x^2 ln x + 3B x^2 + A x^2) = -6A x^3 ln x - 6B x^3 - 2A x^3:
  1. Derivada primeira:
2(x^3(A ln x + B)) = 2A x^3 ln x + 2B x^3
2. Derivada segunda:
(6A x^3 ln x + 6B x^3 + 2A x^3) + (-6A x^3 ln x - 6B x^3 - 2A x^3) + (2A x^3 ln x + 2B x^3) = x^3 ln x
Agora, substituímos (6A x^3 ln x - 6A x^3 ln x + 2A x^3 + (-2A x^3) + 2A x^3 ln x) + (6B x^3 - 6B x^3 + 2B x^3) = x^3 ln x, 2A x^3 ln x + 2B x^3 = x^3 ln x e 2A = 1 Rightarrow A = 12 na equação original:
2B = 0 Rightarrow B = 0
Vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo:
yp = x^3(12 ln x) = 12 x^3 ln x
2. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:
Agora, somamos todos os termos:
Simplificando:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
  1. Para :

2. Para :
Então, nossa solução particular é:

Resposta

A solução particular da equação é:
yp = 12 x^3 ln x

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