Para cada uma das seguintes equaçōes diferenciais verifique que a equação dada é a solução geral da equação homogênea associada e depois ache uma solução particular da equação.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo linear não homogênea:
E a solução geral da parte homogênea já foi dada:
O que precisamos fazer aqui é duas coisas:
- Verificar que
realmente resolve a equação homogênea associada (ou seja, sem o termo do lado direito). - Encontrar uma solução particular que resolva a equação completa com o termo
no lado direito.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares, como encontrar soluções homogêneas e particulares. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
realmente resolve a equação homogênea associada. A equação homogênea é:
Vamos calcular as derivadas de
:
- Derivada primeira:
2. Derivada segunda:
Agora, substituímos
,
e
na equação homogênea:
Vamos simplificar:
Somando os termos semelhantes:
Viu só? A equação se anula, confirmando que
é realmente a solução geral da equação homogênea.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Como o lado direito é
, vamos tentar uma solução do tipo:
Aqui,
Vamos calcular as derivadas de
:
- Derivada primeira:
2. Derivada segunda:
Agora, substituímos
,
e
na equação original:
Vamos simplificar cada termo:
- Primeiro termo:
2. Segundo termo:
- Terceiro termo:
Agora, somamos todos os termos:
Simplificando:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
- Para
:
2. Para
Então, nossa solução particular é:
Resposta
A solução particular da equação é: