Considere a seguinte curva no plano cartesiano:
x y^3+2 x y^2+x=4
Determine a equação da reta tangente à esta curva no ponto P0=(1,1).

Passo 1

Enunciado resumido: temos a curva dada de forma implícita por x y^3 + 2 x y^2 + x = 4. O conteúdo da matéria é diferenciação implícita, e vamos precisar aplicar a regra do produto para obter y' = tfracdydx.

Passo 2

Na diferenciação implícita, derivamos termo a termo com respeito a x, lembrando que y é função de x:
ddx(x y^3) = y^3 + 3x y^2 y'
ddx(2x y^2) = 2y^2 + 4x y y'
ddx(x) = 1, ddx(4) = 0
Somando tudo e igualando a zero:
y^3 + 3x y^2 y' + 2y^2 + 4x y y' + 1 = 0
Agrupando os termos com y' e isolando:
y'(3x y^2 + 4x y) = - (y^3 + 2y^2 + 1)
y' = -y^3 + 2y^2 + 13x y^2 + 4x y

Passo 3

Avaliação de y' no ponto P0 = (1,1):
numerador = 1^3 + 2cdot1^2 + 1 = 4, denominador = 3cdot1cdot1^2 + 4cdot1cdot1 = 7
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y'(1,1) = -47

Passo 4

Equação da reta tangente: usamos a forma ponto-inclinação y - y0 = m (x - x0) com m = -4/7 e (x0,y0)=(1,1):
y - 1 = -47(x - 1)
Expandindo para a forma explícita:
y = -47x + 47 + 1 = -47x + 117

Resposta

A equação da reta tangente em P0=(1,1) é y = -tfrac47x + tfrac117.

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