Ache a solução geral de cada uma das seguintes equaçōes diferenciais.
(D^2+1) y=1cos x.

Passo 1

Beleza, você quer encontrar a solução geral da equação diferencial . Isso envolve conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar entender como resolver a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Isso significa que estamos procurando funções cuja segunda derivada mais elas mesmas resultem em zero.

Passo 3

Para resolver , encontramos as soluções da equação característica: . Resolvendo, temos . Isso nos diz que as soluções homogêneas são funções trigonométricas.

Passo 4

As soluções homogêneas são então:
yh(x) = C1 cos x + C2 sin x
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Observando o lado direito, é a função , que pode ser reescrita usando a série de Taylor ou transformadas, mas aqui vamos usar o método de coeficientes indeterminados.

Passo 6

Assumimos uma forma para . Como não é uma solução da equação homogênea, podemos tentar uma função do tipo . Vamos derivar e substituir na equação para encontrar .

Passo 7

Calculando as derivadas:
yp = A sec x
yp' = A sec x tan x
yp'' = A sec x (tan^2 x + sec^2 x)
Substituindo na equação A sec x (tan^2 x + sec^2 x) + A sec x = sec x :

Passo 8

Simplificando:
A sec x (tan^2 x + sec^2 x + 1) = sec x
Fatorando A (tan^2 x + sec^2 x + 1) = 1 :
No entanto, essa equação não se resolve facilmente para , indicando que nossa suposição inicial não funcionou. Isso sugere que precisamos tentar outra forma para .

Passo 9

Como a função yp(x) = x (A cos x + B sin x) não é solução da homogênea e a tentativa anterior falhou, podemos tentar uma solução particular envolvendo funções trigonométricas multiplicadas por . Vamos tentar:

Passo 10

Calculando as derivadas:
yp' = A cos x + B sin x + x (-A sin x + B cos x)
yp'' = -2A sin x + 2B cos x + x (-A cos x - B sin x)
Substituindo na equação:
(-2A sin x + 2B cos x + x (-A cos x - B sin x)) + x (A cos x + B sin x) = sec x
Simplificando:
-2A sin x + 2B cos x = sec x
Isso nos dá um sistema de equações para -2A = 0 e 2B = 1 e :
Então, e .

Passo 11

Portanto, a solução particular é:
yp(x) = x (0 cdot cos x + 12 sin x) = x2 sin x

Resposta

A solução geral da equação diferencial y(x) = C1 cos x + C2 sin x + x2 sin x é:
onde e são constantes arbitrárias.

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