Ache a solução geral de cada uma das seguintes equaçōes diferenciais.
.
Passo 1
Beleza, você quer encontrar a solução geral da equação diferencial
. Isso envolve conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar entender como resolver a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Isso significa que estamos procurando funções
cuja segunda derivada mais elas mesmas resultem em zero.
Passo 3
Para resolver
, encontramos as soluções da equação característica:
. Resolvendo, temos
. Isso nos diz que as soluções homogêneas são funções trigonométricas.
Passo 4
As soluções homogêneas são então:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Observando o lado direito,
é a função
, que pode ser reescrita usando a série de Taylor ou transformadas, mas aqui vamos usar o método de coeficientes indeterminados.
Passo 6
Assumimos uma forma para
. Como
não é uma solução da equação homogênea, podemos tentar uma função do tipo
. Vamos derivar e substituir na equação para encontrar
.
Passo 7
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação
:
Passo 8
Simplificando:
Fatorando
:
No entanto, essa equação não se resolve facilmente para
, indicando que nossa suposição inicial não funcionou. Isso sugere que precisamos tentar outra forma para
.
Passo 9
Como a função
não é solução da homogênea e a tentativa anterior falhou, podemos tentar uma solução particular envolvendo funções trigonométricas multiplicadas por
. Vamos tentar:
Passo 10
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Isso nos dá um sistema de equações para
e
:
Então,
e
.
Passo 11
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
e
são constantes arbitrárias.