1. Para cada uma das seguintes equações, encontre a função mais geral N(x, y) de modo que a equação seja exata.
    (a) [y cos (x y)+e^x] d x+N(x, y) d y=0

Passo 1

O enunciado pede a função mais geral N(x,y) tal que a equação
l(ycos(xy)+e^xr),dx + N(x,y),dy = 0
seja exata. Estamos em Equações Diferenciais Exatas, cuja condição de exatidão é
partial Mpartial y ;=;partial Npartial x,
onde M(x,y)=ycos(xy)+e^x.

Passo 2

Calcular a derivada parcial de M em relação a y:
partial Mpartial y = partialpartial yl(ycos(xy)r) +partialpartial yl(e^xr) = cos(xy) - x y sin(xy)

Passo 3

Pela condição de exatidão,
partial Npartial x = cos(xy) - x y sin(xy)
Integrando em x e acrescentando uma função arbitrária phi(y),
N(x,y) = integrall(cos(xy)-x ysin(xy)r),dx + phi(y)
Fazendo as duas integrais:
integral cos(xy),dx = sin(xy)y, integral -x ysin(xy),dx = xcos(xy)-sin(xy)y,
os termos pmsin(xy)y cancelam, ficando
N(x,y)=xcos(xy)+phi(y)

Resposta

A função mais geral é
N(x,y)=xcos(xy)+phi(y),
onde phi é uma função arbitrária de y.

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