Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo especificado.
, com
, em torno de
Passo 1
O enunciado pede a área da superfície obtida ao girar em torno do eixo
a curva definida por
no intervalo
.
Esse é um problema de área de superfície de revolução em que usamos a fórmula
Esse é um problema de área de superfície de revolução em que usamos a fórmula
para uma função
.
Passo 2
Primeiro escrevemos
como função de
. Da equação
temos
escolhendo o ramo positivo (o ramo negativo gera a mesma superfície ao girar).
Calculamos a derivada:
Calculamos a derivada:
Passo 3
Substituímos na fórmula de
:
Passo 4
Vamos simplificar o integrando. Dentro da raiz,
Logo,
Multiplicando:
Portanto
Passo 5
Para calcular
,
fazemos a substituição ,
:
fazemos a substituição
Passo 6
Substituindo de volta em
:
Resposta
A área da superfície é
.