Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo especificado.
9 x=y^2+18, com 2 <= x <= 6, em torno de x

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície obtida ao girar em torno do eixo x a curva definida por
9x = y^2 + 18,
no intervalo 2 <= x <= 6.
Esse é um problema de área de superfície de revolução em que usamos a fórmula
S = 2pi integrala^b y ,raiz1 + l(y'(x)r)^2,dx,
para uma função y=f(x)>=0.

Passo 2

Primeiro escrevemos y como função de x. Da equação
y^2 = 9x - 18
temos
y = raiz9x - 18,
escolhendo o ramo positivo (o ramo negativo gera a mesma superfície ao girar).
Calculamos a derivada:
y'(x) = ddxraiz9x-18 = 92raiz9x-18

Passo 3

Substituímos na fórmula de S:
S = 2pi integral2^6 raiz9x-18,raiz1 + l(92raiz9x-18r)^2,dx

Passo 4

Vamos simplificar o integrando. Dentro da raiz,
1 + 814,(9x-18) = 36x-72 + 8136(x-2) = 36x+936(x-2) = 4x+14(x-2)
Logo,
raiz1 + (y')^2 = raiz4x+12raizx-2, raiz9x-18 = 3raizx-2
Multiplicando:
y,raiz1+(y')^2 = 3raizx-2;raiz4x+12raizx-2 = 32,raiz4x+1
Portanto
S = 2pi integral2^6 32,raiz4x+1,dx = 3pi integral2^6 raiz4x+1,dx

Passo 5

Para calcular
integral2^6!raiz4x+1,dx,
fazemos a substituição u = 4x+1, du = 4,dx:
integral2^6raiz4x+1,dx = 14integralu=9^25 u^12,du = 14cdot23l[u^32r]9^25 = 16l(25^32-9^32r) = 16(125 - 27) = 986 = 493

Passo 6

Substituindo de volta em S:
S = 3pi cdot 493 = 49pi

Resposta

A área da superfície é 49pi.

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