Para cada uma das seguintes escolhas de A e \mathbf{b}, determine se \mathbf{b} está no espaço coluna de A e enuncie se o sistema A \mathbf{x}=\mathbf{b} é consistente.
\quad A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 2 & 4 \\\\ 1 & 2\end{array}\right), \quad \mathbf{b}=\left(\begin{array}{r}5 \\\\ 10 \\\\ 5\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[6pt] 2 & 4 \\[6pt] 1 & 2\end{pmatrix}
e o vetor
\mathbf{b} = \begin{pmatrix}5 \\[3pt] 10 \\[3pt] 5\end{pmatrix},
e pede para verificar se \mathbf{b} pertence ao espaço coluna de A e se o sistema
A\,\mathbf{x} = \mathbf{b}
é consistente. O conteúdo usado será espaço coluna, combinação linear de colunas e existência de soluções de sistemas lineares.]

Passo 2

Para descrever o espaço coluna de A, note que as colunas de A são
\mathbf{c}_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix}, \quad \mathbf{c}_2 = \begin{pmatrix}2\\\ 4\\\ 2\end{pmatrix}.
Observamos que \mathbf{c}_2 = 2\,\mathbf{c}_1. Logo o espaço coluna de A é
\Col(A) = \Span\{\mathbf{c}_1\}.

Passo 3

Para verificar se \mathbf{b}\in\Col(A), procuramos \lambda tal que
\lambda\,\mathbf{c}_1 = \mathbf{b}.
Isto é,
\lambda \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\\ 10\\\ 5\end{pmatrix}.
Comparando coordenadas, \lambda = 5 satisfaz todas as três igualdades. Portanto
\mathbf{b} = 5\,\mathbf{c}_1 \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{b}\in\Col(A).

Passo 4

Como \mathbf{b} pertence ao espaço coluna de A, o sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b} é consistente. Para escrever a solução geral, seja \mathbf{x}=(x_1,x_2)^T. As equações de A\mathbf{x}=\mathbf{b} reduzem-se a
x_1 + 2\,x_2 = 5
(pois as outras são múltiplas desta). Logo a solução geral é
x_1 = 5 - 2\,t,\quad x_2 = t,
para parâmetro t\in\mathbb{R}.

Resposta

\mathbf{b} está no espaço coluna de A, logo o sistema é consistente e possui infinitas soluções dadas por
\mathbf{x} = \begin{pmatrix}5 - 2\,t \\[3pt] t\end{pmatrix},\quad t\in\mathbb{R}.]

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