Para cada uma das seguintes escolhas de A e \mathbf{b}, determine se \mathbf{b} está no espaço coluna de A e enuncie se o sistema A \mathbf{x}=\mathbf{b} é consistente.
A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 2 \\\\ 1 & 1 & 2 \\\\ 1 & 1 & 2\end{array}\right), \quad \mathbf{b}=\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o vetor \mathbf{b} pertence ao espaço coluna da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\\\ 1 & 1 & 2\\\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}
e, em seguida, dizer se o sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b} é consistente. O conteúdo envolvido é espaço coluna de uma matriz e consistência de sistemas lineares.

Passo 2

Vejamos as colunas de A:
\mathbf{c}_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},\quad \mathbf{c}_2 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},\quad \mathbf{c}_3 = \begin{pmatrix}2\\\ 2\\\ 2\end{pmatrix}.
Note que \mathbf{c}_2 = \mathbf{c}_1 e \mathbf{c}_3 = 2\,\mathbf{c}_1. Logo o espaço coluna de A é
\operatorname{Col}(A) = \operatorname{Span}\bigl\{\mathbf{c}_1\bigr\} = \bigl\{\,k\,(1,1,1)^T : k\in\mathbb{R}\bigr\}.

Passo 3

O vetor dado é \mathbf{b} = \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}.
Para pertencer a \operatorname{Col}(A), \mathbf{b} teria que ser da forma k(1,1,1)^T, ou seja, seus três componentes seriam iguais. Como 1\neq2\neq3, \mathbf{b} não é múltiplo de (1,1,1)^T e, portanto,
\mathbf{b}\notin \operatorname{Col}(A).

Passo 4

Se \mathbf{b} não está no espaço coluna de A, não existe combinação linear das colunas de A que produza \mathbf{b}. Isso significa que o sistema A\mathbf{x} = \mathbf{b} é inconsistente.

Resposta

\mathbf{b} não está no espaço coluna de A e o sistema A\mathbf{x} = \mathbf{b} é inconsistente.

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