Exercício 14 Sejam
e
suas bases em um espaço vetorial
de dimensão
. Mostre que
tem determinante não nulo e que
.
Passo 1
Temos um espaço vetorial
de dimensão
e duas bases
Definimos a aplicação linear identidade
O enunciado pede para mostrar que a matriz de
vista na base de partida
e na base de chegada
, ou seja
é invertível (determinante não nulo) e que a matriz de
na troca oposta de bases,
é precisamente a inversa de
.
Passo 2
Vamos ver por que
é invertível. A coluna
de
são as coordenadas de
em relação à base
. Ou seja, existe um único conjunto de escalares
tais que
Esses escalares formam a coluna
de
. Se
, então suas colunas seriam linearmente dependentes, isto é haveria escalares
, nem todos nulos, com
Mas como
é base, só existe a combinação trivial. Logo nenhuma dependência linear não-trivial entre colunas, e portanto
Passo 3
Para ver que
é a inversa de
, note que mudar de
para
e depois de
para
é a aplicação identidade em coordenadas. Em fórmulas de matrizes isso significa
onde
é a matriz identidade de ordem
. Analogamente
Assim
é inversa de
.