Para cada uma das seguintes escolhas de A e \mathbf{b}, determine se \mathbf{b} está no espaço coluna de A e enuncie se o sistema A \mathbf{x}=\mathbf{b} é consistente.
A=\left(\begin{array}{ll}3 & 6 \\\\ 1 & 2\end{array}\right), \quad \mathbf{b}=\binom{1}{1}

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A = \begin{pmatrix}3 & 6 \\[6pt] 1 & 2\end{pmatrix}
e o vetor
\mathbf{b} = \begin{pmatrix}1 \\[3pt] 1\end{pmatrix}.
O objetivo é verificar se \mathbf{b} pertence ao espaço coluna de A (isto é, se \mathbf{b} pode ser escrito como combinação linear das colunas de A) e, em consequência, dizer se o sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b} é consistente.]

Passo 2

As colunas de A são
\mathbf{a}_1 = \begin{pmatrix}3 \\[3pt]1\end{pmatrix}, \quad \mathbf{a}_2 = \begin{pmatrix}6 \\[3pt]2\end{pmatrix}.
Note que \mathbf{a}_2 = 2\,\mathbf{a}_1. Logo o espaço coluna de A é
\mathrm{Col}(A) = \bigl\{\,c\,\mathbf{a}_1 : c\in\mathbb{R}\bigr\}.
Para que \mathbf{b}=(1,1)^T esteja em \mathrm{Col}(A), devemos ter algum c tal que
c\begin{pmatrix}3 \\[3pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\[3pt]1\end{pmatrix}.
Isso exige 3c=1 e c=1. Mas 3c=1 c=\tfrac13, enquanto c=1 c=1. Não há valor de c que satisfaça as duas equações simultaneamente. Portanto \mathbf{b}\notin\mathrm{Col}(A).]

Passo 3

Como \mathbf{b}\notin\mathrm{Col}(A)\), o sistema \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) não tem solução. Para ver o conflito diretamente, escrevemos as equações: \[\begin{cases} 3x_1 + 6x_2 = 1,\\[3pt] x_1 + 2x_2 = 1. \end{cases}
Multiplicando a segunda por 3 obtemos 3x_1+6x_2=3\], que contradiz a primeira equação \(3x_1+6x_2=1. Logo o sistema é inconsistente.]

Resposta

\mathbf{b} não está no espaço coluna de A e o sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b} é inconsistente.

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