Em cada um dos seguintes exemplos, encontre ou demonstre que não existe uma constante de Lipschitz nos domínios indicados:
b) f(t, x)=x^13,|x| <= 1.

Passo 1

O enunciado define a função
f(t,x)=x^13
no domínio (t,x)mid |x|<=1 e pede para mostrar que não existe constante de Lipschitz em x nesse intervalo. Vamos usar a definição de Lipschitz global e construir um contraditório.

Passo 2

Lembrando que f seria Lipschitz em x se existisse L>0 tal que, para todo x,yin[-1,1],
l|f(x)-f(y)r|<= L,|x-y|
Para refutar isso, basta encontrar pares (x,y) cujo quociente
l|f(x)-f(y)r||x-y|
seja arbitrariamente grande.

Passo 3

Suponha que exista L>0. Escolha y=0 e x=varepsilon>0. Então
|f(varepsilon)-f(0)| = varepsilon^13, |x-y| = varepsilon,
logo
|f(varepsilon)-f(0)||varepsilon-0| = varepsilon^1/3varepsilon = varepsilon^-!2/3
Como varepsilon^-!2/3to+infty quando varepsilonto0^+, podemos escolher varepsilon tão pequeno que varepsilon^-!2/3>L, o que contradiz a hipótese.

Resposta

Não existe constante de Lipschitz para f(t,x)=x^tfrac13 em |x|<=1.

Exercícios relacionados