Em cada um dos seguintes exemplos, encontre ou demonstre que não existe uma constante de Lipschitz nos domínios indicados:
b) .
Passo 1
O enunciado define a função
no domínio e pede para mostrar que não existe constante de Lipschitz em nesse intervalo. Vamos usar a definição de Lipschitz global e construir um contraditório.
Passo 2
Lembrando que seria Lipschitz em se existisse tal que, para todo ,
Para refutar isso, basta encontrar pares (x,y) cujo quociente
l|f(x)-f(y)r||x-y|
seja arbitrariamente grande.
Passo 3
Suponha que exista L>0. Escolha y=0 e x=varepsilon>0. Então