Em cada um dos seguintes exemplos, encontre ou demonstre que não existe uma constante de Lipschitz nos domínios indicados:
a) f(t, x)=t|x|,|t| <= a, x in R^n.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existe uma constante de Lipschitz para a função
fcolon Dsubset RtimesR^ntoR, f(t,x)=t,lVert xrVert,
no domínio
D=(t,x)mid |t|<= a,;xinR^n
Lembrando que dizer “ f é Lipschitz em x” significa que existe L>=0 tal que, para todo (t,x),(t,y)in D, vale
|f(t,x)-f(t,y)|<= L,|x-y|

Passo 2

Calculemos a diferença
|f(t,x)-f(t,y)|= l|,t,|x| - t,|y|,r| =|t|;l||x|-|y|r|

Passo 3

Usamos a desigualdade padrão para normas em R^n:
l||x|-|y|r|<=|x-y|
Logo
|f(t,x)-f(t,y)|<= |t|,|x-y|

Passo 4

No domínio temos |t|<= a. Logo
|f(t,x)-f(t,y)|<= a,|x-y|
Isto mostra que a constante de Lipschitz em x pode ser escolhida como L=a.

Resposta

A função é Lipschitz em x no domínio dado, com constante de Lipschitz
L = a

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