Em cada um dos seguintes exemplos, encontre ou demonstre que não existe uma constante de Lipschitz nos domínios indicados:
c)
.
c)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é Lipschitz em
no domínio
. Para isso vamos usar o Teorema de Valor Médio, que exige que a derivada de
em
seja limitada no domínio.
Passo 2
Calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Como
, temos
Passo 3
Pelo Teorema de Valor Médio, para quaisquer
x1,x2>=1 existe
c entre
x1 e
x2 tal que
Logo
f satisfaz a condição de Lipschitz em
x com constante
L=1 .
Resposta
A constante de Lipschitz em
x para
f(t,x)=1/x no domínio
[1,infty) é
L=1 .