Em cada um dos seguintes exemplos, encontre ou demonstre que não existe uma constante de Lipschitz nos domínios indicados:
c) f(t, x)=1x, 1 <= x <= infty.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(t,x)=1x
é Lipschitz em x no domínio [1,infty). Para isso vamos usar o Teorema de Valor Médio, que exige que a derivada de f em x seja limitada no domínio.

Passo 2

Calculamos a derivada parcial de f em relação a x:
partial fpartial x(t,x) =-1x^2
Como x>=1, temos
|partial fpartial x(t,x)|=1x^2<=1

Passo 3

Pelo Teorema de Valor Médio, para quaisquer x1,x2>=1 existe c entre x1 e x2 tal que
l|f(t,x1)-f(t,x2)r| =|partial fpartial x(t,c)|;|x1-x2| <=1cdot|x1-x2|
Logo f satisfaz a condição de Lipschitz em x com constante L=1.

Resposta

A constante de Lipschitz em x para f(t,x)=1/x no domínio [1,infty) é L=1.

Exercícios relacionados