Em cada um dos seguintes exemplos, encontre ou demonstre que não existe uma constante de Lipschitz nos domínios indicados:
d) f(t, x)=(x1^2 x2, t+x3, x3^2),|x| <= b,|t| <= a.

Passo 1

O enunciado define
fcolon [-a,a]times xinR^3mid |x|<= btoR^3, f(t,x)=l(x1^2x2,;t+x3,;x3^2r),
e pede uma constante L tal que, para todo |t|<= a e todos x,y com |x|<= b, |y|<= b, valha
|f(t,x)-f(t,y)|<= L,|x-y|
Vamos verificar que f é diferenciável em x e usar o Teorema do Valor Médio vetorial, que garante
|f(t,x)-f(t,y)|<= sup,xi;entre;x,yl|Dxf(t,xi)r|;|x-y|

Passo 2

Calculemos a matriz jacobiana parcial de f em relação a x=(x1,x2,x3):
Dxf(t,x) = partialpartial x1(x1^2x2) & partialpartial x2(x1^2x2) & partialpartial x3(x1^2x2)[6pt] partialpartial x1(t+x3) & partialpartial x2(t+x3) & partialpartial x3(t+x3)[6pt] partialpartial x1(x3^2) & partialpartial x2(x3^2) & partialpartial x3(x3^2) = 2x1x2 & x1^2 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 2x3 ]

Passo 3

No domínio |x|<= b temos os seguintes limites para os valores absolutos das derivadas:
|2x1x2|<= 2b^2, |x1^2|<= b^2, |1|=1, |2x3|<= 2b
Logo cada entrada de Dxf está limitada por esses números.

Passo 4

Para obter uma constante de Lipschitz na norma euclidiana, basta estimar a norma do operador Dxf. Usando que a norma de operador é no máximo a norma de Frobenius,
|Dxf(t,x)|2<= |Dxf(t,x)|F =raiz(2x1x2)^2+(x1^2)^2+1^2+(2x3)^2 <= raiz5b^4+4b^2+1
Pelo Teorema do Valor Médio vetorial segue que, para todo |t|<= a e |x|, |y|<= b,
|f(t,x)-f(t,y)|<= supxi|Dxf(t,xi)|2;|x-y| <= raiz5b^4+4b^2+1,|x-y|

Resposta

Uma constante de Lipschitz válido para f no domínio |t|<= a,;|x|<= b é
L = raiz5b^4 + 4b^2 + 1

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