Exercício 1 Verifique em quais pontos as funções abaixo são possuem derivadas parciais
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede em quais pontos de R^2 existem as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y. Vamos usar o fato de que quociente de funções polinomiais é infinitamente diferenciável onde o denominador não anula, e a definição de derivada parcial no ponto.]
Passo 2
Para qualquer (x,y)neq(0,0) temos x^2+y^2>0, logo
f(x,y)=x^2-y^2x^2+y^2
é razão de polinômios com denominador não nulo. Assim f é de classe C^infty em R^2setminus(0,0) e, em particular, possui derivadas parciais em todo ponto (x,y)neq(0,0).
Passo 3
No ponto (0,0), a derivada parcial em x é dada por