Exercício 1 Verifique em quais pontos as funções abaixo são possuem derivadas parciais
f(x, y)=lx^2-y^2x^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 0, caso contrário á

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x, y)= dfracx^2-y^2x^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&se (x,y)=(0,0),
e pede em quais pontos de R^2 existem as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y. Vamos usar o fato de que quociente de funções polinomiais é infinitamente diferenciável onde o denominador não anula, e a definição de derivada parcial no ponto.]

Passo 2

Para qualquer (x,y)neq(0,0) temos x^2+y^2>0, logo
f(x,y)=x^2-y^2x^2+y^2
é razão de polinômios com denominador não nulo. Assim f é de classe C^infty em R^2setminus(0,0) e, em particular, possui derivadas parciais em todo ponto (x,y)neq(0,0).

Passo 3

No ponto (0,0), a derivada parcial em x é dada por
partial fpartial x(0,0) = limhto0f(h,0)-f(0,0)h = limhto01-0h = limhto01h
Como limhto01/h diverge, não existe partial fpartial x(0,0).

Passo 4

Analogamente, a derivada parcial em y no ponto (0,0) é
partial fpartial y(0,0) = limkto0f(0,k)-f(0,0)k = limkto0-1-0k = limkto0-1k,
que também diverge. Logo partial fpartial y(0,0) não existe.

Resposta

A função f possui derivadas parciais em todos os pontos de R^2 exceto em (0,0).

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