Em cada um dos seguintes exercícios, calcule a derivada parcial indicada.
f(x, y, z)=2 x y(1-3 x z)^2 ; partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z.

Passo 1

A questão pede para calcular as derivadas parciais de f(x,y,z)=2cdot xcdot ycdot(1-3cdot xcdot z)^2. O conteúdo principal é derivada parcial, e vamos usar a regra do produto (para variáveis que aparecem em fatores) e a regra da cadeia (para o termo elevado ao quadrado).

Passo 2

Para encontrar partial fpartial x, tratamos y e z como constantes. Escrevemos f como produto de dois fatores dependentes de x:
g(x)&=2cdot ycdot x, h(x)&=(1-3cdot xcdot z)^2
Pela regra do produto,
ddx[gcdot h]=g'cdot h + gcdot h'
Aqui
g'(x)=2cdot y,
h'(x)=2,(1-3,x,z)cdotddx(1-3,x,z)=2,(1-3,x,z),(-3,z)=-6,z,(1-3,x,z)
Logo,
partial fpartial x=2,y,(1-3,x,z)^2 + 2,y,x,[-6,z,(1-3,x,z)]
Fatorando 2,y,(1-3,x,z), obtemos
partial fpartial x=2,y,(1-3,x,z)l[(1-3,x,z)-6,x,zr]=2,y,(1-3,x,z),(1-9,x,z)

Passo 3

Para partial fpartial y, tratamos x e z como constantes. Observamos que f é linear em y:
f(x,y,z)=l[2,x,(1-3,x,z)^2r]cdot y
Então,
partial fpartial y=2,x,(1-3,x,z)^2

Passo 4

Para partial fpartial z, tratamos x e y constantes. Aplicamos regra da cadeia no termo (1-3,x,z)^2:
ddz(1-3,x,z)^2=2,(1-3,x,z)cdotddz(1-3,x,z)=2,(1-3,x,z)(-3,x)=-6,x,(1-3,x,z)
Multiplicando pelo fator constante 2,x,y,
partial fpartial z=2,x,y,[-6,x,(1-3,x,z)]=-12,x^2,y,(1-3,x,z)

Resposta

partial fpartial x=2,y,(1-3,x,z),(1-9,x,z), partial fpartial y=2,x,(1-3,x,z)^2, partial fpartial z=-12,x^2,y,(1-3,x,z)

Exercícios relacionados