Um par de funções
e
que satisfaz as equações
são, respectivamente, a parte real e a parte complexa de uma função diferenciável de uma variável complexa. Estas equações são chamadas Equações de Cauchy-Riemann.
Mostre que cada par de funções de duas variáveis a seguir satisfaz as Equações de CauchyRiemann.
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Mostre que cada par de funções de duas variáveis a seguir satisfaz as Equações de CauchyRiemann.
Passo 1
O enunciado pede pra gente mostrar que as funções de duas variáveis
u(x,y)=e^x\cos(y) e v(x,y)=e^x\sin(y) satisfazem as Equações de Cauchy-Riemann. Esse conteúdo faz parte da teoria de funções de variável complexa: quando f(z)=u(x,y)+i,v(x,y) é diferenciável, u e v devem satisfazer
u(x,y)=e^x\cos(y) e v(x,y)=e^x\sin(y) satisfazem as Equações de Cauchy-Riemann. Esse conteúdo faz parte da teoria de funções de variável complexa: quando f(z)=u(x,y)+i,v(x,y) é diferenciável, u e v devem satisfazer
Pra resolver, vamos calcular as derivadas parciais de u e v e comparar.
Passo 2
Primeiro, para
u(x,y)=e^x\cos(y)
calculamos
u(x,y)=e^x\cos(y)
calculamos
pois derivada de e^x é e^x mantendo cos(y) como constante, e
pois derivada de cos(y) é -sin(y) enquanto e^x é constante.
Passo 3
Agora, para
v(x,y)=e^x\sin(y)
obtemos
v(x,y)=e^x\sin(y)
obtemos
já que derivada de e^x é e^x, e
pois derivada de sin(y) é cos(y).
Passo 4
Basta comparar as derivadas:
Como essas duas igualdades coincidem com as Equações de Cauchy-Riemann, concluímos que u e v satisfazem as condições exigidas.
Resposta
As funções u(x,y)=e^x\cos(y) e v(x,y)=e^x\sin(y) satisfazem as Equações de Cauchy-Riemann, pois
e
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