Um par de funções u(x, y) e v(x, y) que satisfaz as equações
partial upartial x=partial vpartial y e partial upartial y=-partial vpartial x
são, respectivamente, a parte real e a parte complexa de uma função diferenciável de uma variável complexa. Estas equações são chamadas Equações de Cauchy-Riemann.
Mostre que cada par de funções de duas variáveis a seguir satisfaz as Equações de CauchyRiemann.
u(x, y)=e^x cos (y) ; v(x, y)=e^x sen(y).

Passo 1

O enunciado pede pra gente mostrar que as funções de duas variáveis
u(x,y)=e^x\cos(y) e v(x,y)=e^x\sin(y) satisfazem as Equações de Cauchy-Riemann. Esse conteúdo faz parte da teoria de funções de variável complexa: quando f(z)=u(x,y)+i,v(x,y) é diferenciável, u e v devem satisfazer
partial upartial x=partial vpartial y e partial upartial y=-partial vpartial x
Pra resolver, vamos calcular as derivadas parciais de u e v e comparar.

Passo 2

Primeiro, para
u(x,y)=e^x\cos(y)
calculamos
partial upartial x=e^xcos(y),
pois derivada de e^x é e^x mantendo cos(y) como constante, e
partial upartial y=-e^xsin(y),
pois derivada de cos(y) é -sin(y) enquanto e^x é constante.

Passo 3

Agora, para
v(x,y)=e^x\sin(y)
obtemos
partial vpartial x=e^xsin(y),
já que derivada de e^x é e^x, e
partial vpartial y=e^xcos(y),
pois derivada de sin(y) é cos(y).

Passo 4

Basta comparar as derivadas:
partial upartial x=e^xcos(y)=partial vpartial y,
partial upartial y=-e^xsin(y)=-partial vpartial x
Como essas duas igualdades coincidem com as Equações de Cauchy-Riemann, concluímos que u e v satisfazem as condições exigidas.

Resposta

As funções u(x,y)=e^x\cos(y) e v(x,y)=e^x\sin(y) satisfazem as Equações de Cauchy-Riemann, pois partial upartial x=partial vpartial y e partial upartial y=-partial vpartial x.

Exercícios relacionados