Seja f: X R diz-se localmente constante quando todo ponto de X possui uma vizinhança V tal que f é constante em V cap X. Prove que toda função f: I R, localmente constante num intervalo I, é constante.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função f: I → ℝ num intervalo I que é localmente constante, ou seja, para todo x∈I existe uma vizinhança V_x tal que f é constante em V_x∩I. Nosso objetivo é provar que f é constante em todo I. Vamos usar o fato de que um intervalo em ℝ é um espaço conexo e que conjuntos de nível de uma função localmente constante são abertos.

Passo 2

Recordando que um espaço conexo não pode ser particionado em dois subconjuntos não vazios, abertos e disjuntos. No caso de um intervalo I⊂ℝ, isso significa que a única partição desse tipo é trivial (o intervalo todo e o conjunto vazio).

Passo 3

Escolhemos um ponto a∈I e definimos c = f(a). Consideramos o conjunto de nível associado:
S = x∈I : f(x)=c

Passo 4

Vamos mostrar que S é aberto. Seja x∈S. Então f(x)=c. Pela local constância, existe uma vizinhança V_x de x em ℝ tal que f é constante em V_x∩I. Como f(x)=c, isso implica que V_x∩I⊂S. Logo, todo ponto x de S tem uma vizinhança contida em S, isto é, S é aberto.

Passo 5

Agora mostramos que S é fechado em I. Observe que o complemento de S em I é
Isetminus S = cupy∈I,,f(y)≠cy distintos f(y),
que é união de conjuntos de nível de valores diferentes de c. Mas cada um desses conjuntos de nível também é aberto pelo mesmo argumento de local constância. Assim, I\setminus S é aberto, e portanto S é fechado.

Passo 6

Concluímos que S é simultaneamente aberto e fechado em I. Como I é conexo e S≠∅ (pois a∈S), só resta S=I. Logo, para todo x∈I vale f(x)=c=f(a). Portanto, f é constante em I.

Resposta

f é constante em todo o intervalo I.

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