Seja
diz-se localmente constante quando todo ponto de
possui uma vizinhança
tal que
é constante em
. Prove que toda função
, localmente constante num intervalo
, é constante.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função f: I → ℝ num intervalo I que é localmente constante, ou seja, para todo x∈I existe uma vizinhança V_x tal que f é constante em V_x∩I. Nosso objetivo é provar que f é constante em todo I. Vamos usar o fato de que um intervalo em ℝ é um espaço conexo e que conjuntos de nível de uma função localmente constante são abertos.
Passo 2
Recordando que um espaço conexo não pode ser particionado em dois subconjuntos não vazios, abertos e disjuntos. No caso de um intervalo I⊂ℝ, isso significa que a única partição desse tipo é trivial (o intervalo todo e o conjunto vazio).
Passo 3
Escolhemos um ponto a∈I e definimos c = f(a). Consideramos o conjunto de nível associado:
Passo 4
Vamos mostrar que S é aberto. Seja x∈S. Então f(x)=c. Pela local constância, existe uma vizinhança V_x de x em ℝ tal que f é constante em V_x∩I. Como f(x)=c, isso implica que V_x∩I⊂S. Logo, todo ponto x de S tem uma vizinhança contida em S, isto é, S é aberto.
Passo 5
Agora mostramos que S é fechado em I. Observe que o complemento de S em I é
que é união de conjuntos de nível de valores diferentes de c. Mas cada um desses conjuntos de nível também é aberto pelo mesmo argumento de local constância. Assim, I\setminus S é aberto, e portanto S é fechado.
Passo 6
Concluímos que S é simultaneamente aberto e fechado em I. Como I é conexo e S≠∅ (pois a∈S), só resta S=I. Logo, para todo x∈I vale f(x)=c=f(a). Portanto, f é constante em I.
Resposta
f é constante em todo o intervalo I.