Em cada um dos seguintes exercícios, calcule a derivada parcial indicada.
z=\operatorname{arctg} \frac{y}{x} ; \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}.

Passo 1

O enunciado dá a função z=\operatorname{arctg}\!\left(\frac{y}{x}\right) e pede as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}. Dados importantes: as variáveis independentes são x e y; a expressão \frac{y}{x} exige x\neq 0. Portanto vamos calcular as duas parciais tratando, quando necessário, a outra variável como constante.

Passo 2

Vamos usar a regra da cadeia. Se z=f(u) com u=u(x,y), então
\frac{\partial z}{\partial x}=f'(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y}=f'(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
Aqui f(u)=\operatorname{arctg}(u). A derivada de \operatorname{arctg}(u) em relação a u é
f'(u)=\frac{1}{1+u^{2}}.
(Isto vem da derivada conhecida de \arctan(u).)

Passo 3

Definimos u=\dfrac{y}{x}. Primeiro calculamos \dfrac{\partial u}{\partial x} tratando y como constante. Podemos escrever u=y\cdot x^{-1}, então
\frac{\partial u}{\partial x}=y\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{-1}\big)=y\cdot(-1)x^{-2}=-\frac{y}{x^{2}}.
Explicação curta: como y é constante, só diferenciamos x^{-1}.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia para \dfrac{\partial z}{\partial x}:
\frac{\partial z}{\partial x}= \frac{1}{1+u^{2}}\cdot\left(-\frac{y}{x^{2}}\right).
Substituindo u=\dfrac{y}{x} e simplificando:
1+u^{2}=1+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}.
Assim
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{(x^{2}+y^{2})/x^{2}}\cdot\left(-\frac{y}{x^{2}}\right) = \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\cdot\left(-\frac{y}{x^{2}}\right)=-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 5

Para \dfrac{\partial z}{\partial y} calculamos primeiro \dfrac{\partial u}{\partial y} tratando x como constante:
\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{x}\right)=\frac{1}{x}.
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{1+u^{2}}\cdot\frac{1}{x}.
Usando novamente 1+u^{2}=\dfrac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}, obtemos
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{(x^{2}+y^{2})/x^{2}}\cdot\frac{1}{x} = \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\cdot\frac{1}{x}=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}

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