Seja
definida por
. Prove que
usando a definição. Não use binômio de Newton; apenas a definição e indução finita:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
, com
, e pede para provar que
usando somente a definição de derivada e indução finita (não usar o binômio de Newton).
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - Queremos o valor da derivada no ponto
. - Devemos usar a definição de derivada (limite do quociente incremental) e prova por indução.
Passo 2
Lembrete da definição: a derivada de
em
é
Aqui
e
. Portanto a quantidade que precisamos avaliar é
O objetivo é mostrar que esse limite existe e vale
para todo
.
Passo 3
Base da indução:
.
Para temos
. Então
Para
para todo
. Portanto
Isto coincide com
. A base está verificada.
Passo 4
Hipótese de indução: suponha que para certo
vale
Vou provar então que a mesma fórmula vale para
.
Passo 5
Começo calculando a diferença para o expoente
. Para todo
escrevo
Agora reescrevo agrupando termos úteis:
Observe que
, logo
Esta identidade é apenas álgebra elementar (multiplicação distributiva e agrupamento).
Passo 6
Divido por
(para
) e obtenho
Agora tomo limite quando
. Vou justificar passo a passo:
- A função
tende para quando . - Pela hipótese de indução,
existe e é igual a . - Como o limite de um produto é o produto dos limites quando ambos existem e são finitos, segue que
- O termo constante
tem limite .
Somando os limites (limite da soma = soma dos limites), obtemos
Passo 7
Simplifico a expressão obtida:
Mas
, que é exatamente a fórmula desejada para o expoente
. Assim a propriedade passa de
para
.
Passo 8
Concluímos por indução finita sobre
que, para todo
,
ou seja, pela definição de derivada,