Calcule o \lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 \sin x-\sin 2 x}{x-\sin x}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{3\sin x-\sin 2x}{x-\sin x}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão é uma função racional em termos de x e das funções trigonométricas \sin x e \sin 2x.
  • Avaliando em x=0: \sin 0=0, logo o numerador vale 3\cdot 0-0=0 e o denominador vale 0-0=0. Portanto temos uma forma indeterminada do tipo 0/0.
  • A pergunta é o limite quando x se aproxima de 0 (duas direções: x\to0^+ e x\to0^-), e devemos concluir se o limite é um número finito, \pm\infty ou não existe.

Passo 2

Escolhendo o método: como obtemos a forma 0/0, uma ferramenta clássica é a Regra de L’Hôpital (que usa derivadas). Vou usar L’Hôpital porque é direto aqui e depois confirmo com expansão em séries (pequeno ângulo) para dar intuição e ver o comportamento assintótico. Vou explicar a Regra de L’Hôpital de forma simples: se \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0, e f e g são diferenciáveis perto de a com g'(x)\neq0 próximo de a (exceto talvez em a), então, se o limite \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} existe (finito ou infinito), temos
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aplicamos isso aqui.

Passo 3

Derivamos numerador e denominador separadamente.
  • Numerador N(x)=3\sin x-\sin 2x. Derivando:
N'(x)=3\cos x - 2\cos 2x.
(Usei que \frac{d}{dx}\sin x=\cos x e \frac{d}{dx}\sin 2x=2\cos 2x.)
  • Denominador D(x)=x-\sin x. Derivando:
D'(x)=1-\cos x.
Pela Regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to 0}\frac{3\sin x-\sin 2x}{x-\sin x} = \lim_{x\to 0}\frac{3\cos x-2\cos 2x}{1-\cos x},
desde que exista o limite do lado direito (pode ser infinito).

Passo 4

Agora analisamos o limite da nova razão. Primeiro avalio os limites das partes:
\lim_{x\to 0}(3\cos x-2\cos 2x)=3\cdot 1 - 2\cdot 1 = 1,
e
\lim_{x\to 0}(1-\cos x)=0.
Então, a razão tende para algo como 1/0, ou seja, tende a infinito com algum sinal. Precisamos saber o sinal (positivo ou negativo). Note que para x próximo de 0 (mas não zero) temos 1-\cos x>0 porque \cos x\le 1 e \cos x=1 só em x=0. Para ver isso de forma explícita e aproximada, use a expansão de \cos x em série (fórmula do pequeno ângulo):
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4),
logo
1-\cos x = \frac{x^2}{2} + O(x^4)>0
para x pequeno diferente de 0. O numerador 3\cos x-2\cos 2x tende a 1 e, para x próximo de 0, permanece positivo (próximo de 1). Portanto a razão tende para +\infty. Conclusão por L’Hôpital: o limite é +\infty.

Passo 5

Confirmação e intuição extra com expansão em séries (opção muito usada em provas): expandimos \sin x e \sin 2x até ordem x^3:
\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5),
\sin 2x = 2x - \frac{(2x)^3}{6} + O(x^5)=2x - \frac{8x^3}{6} + O(x^5)=2x - \frac{4}{3}x^3 + O(x^5).
Substituindo no numerador:
3\sin x - \sin 2x = 3\Big(x - \frac{x^3}{6}\Big) - \Big(2x - \frac{4}{3}x^3\Big) + O(x^5) = x + \frac{5}{6}x^3 + O(x^5).
No denominador:
x-\sin x = x - \Big(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)\Big)=\frac{x^3}{6} + O(x^5).
Agora a razão:
\frac{3\sin x-\sin 2x}{x-\sin x} = \frac{x + \frac{5}{6}x^3 + O(x^5)}{\frac{x^3}{6} + O(x^5)} = \frac{x\left(1 + \frac{5}{6}x^2 + O(x^4)\right)}{x^3\left(\frac{1}{6} + O(x^2)\right)} = \frac{1}{x^2}\cdot\frac{1 + \frac{5}{6}x^2 + O(x^4)}{\frac{1}{6} + O(x^2)}.
Fazendo a divisão por partes constantes:
\frac{3\sin x-\sin 2x}{x-\sin x} = \frac{6}{x^2}\left(1 + O(x^2)\right) \xrightarrow[x\to 0]{} +\infty.
Essa expansão mostra também que o comportamento dominante é \sim 6/x^2, o que diverge para +\infty quando x\to 0.

Passo 6

Conclusão final: tanto pela Regra de L’Hôpital quanto pela expansão em séries, a expressão cresce sem limite e tende a +\infty quando x\to 0. Coragem — é um limite que explode, não um número escondido!

Resposta

+\infty

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