A expressão é uma função racional em termos de x e das funções trigonométricas \sin x e \sin 2x.
Avaliando em x=0: \sin 0=0, logo o numerador vale 3\cdot 0-0=0 e o denominador vale 0-0=0. Portanto temos uma forma indeterminada do tipo 0/0.
A pergunta é o limite quando x se aproxima de 0 (duas direções: x\to0^+ e x\to0^-), e devemos concluir se o limite é um número finito, \pm\infty ou não existe.
Passo 2
Escolhendo o método: como obtemos a forma 0/0, uma ferramenta clássica é a Regra de L’Hôpital (que usa derivadas). Vou usar L’Hôpital porque é direto aqui e depois confirmo com expansão em séries (pequeno ângulo) para dar intuição e ver o comportamento assintótico. Vou explicar a Regra de L’Hôpital de forma simples: se \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0, e f e g são diferenciáveis perto de a com g'(x)\neq0 próximo de a (exceto talvez em a), então, se o limite \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} existe (finito ou infinito), temos
Então, a razão tende para algo como 1/0, ou seja, tende a infinito com algum sinal. Precisamos saber o sinal (positivo ou negativo). Note que para x próximo de 0 (mas não zero) temos 1-\cos x>0 porque \cos x\le 1 e \cos x=1 só em x=0. Para ver isso de forma explícita e aproximada, use a expansão de \cos x em série (fórmula do pequeno ângulo):
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4),
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1-\cos x = \frac{x^2}{2} + O(x^4)>0
para x pequeno diferente de 0. O numerador 3\cos x-2\cos 2x tende a 1 e, para x próximo de 0, permanece positivo (próximo de 1). Portanto a razão tende para +\infty. Conclusão por L’Hôpital: o limite é +\infty.
Passo 5
Confirmação e intuição extra com expansão em séries (opção muito usada em provas): expandimos \sin x e \sin 2x até ordem x^3:
Essa expansão mostra também que o comportamento dominante é \sim 6/x^2, o que diverge para +\infty quando x\to 0.
Passo 6
Conclusão final: tanto pela Regra de L’Hôpital quanto pela expansão em séries, a expressão cresce sem limite e tende a +\infty quando x\to 0. Coragem — é um limite que explode, não um número escondido!