Em cada um dos seguintes exercícios, calcule a derivada parcial indicada.
z=x \ln \left(\frac{x}{y}\right) ; \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} da função
z = x \ln\!\left(\frac{x}{y}\right).
Informações dadas e observações importantes:
- A função está escrita em termos de x e y.
- Pelo logaritmo, assumimos o domínio \,x>0 e y>0, (isso é necessário para \ln estar definido).
- Precisamos encontrar duas coisas separadas: \frac{\partial z}{\partial x} (derivada parcial em relação a x, tratando y como constante) e \frac{\partial z}{\partial y} (derivada parcial em relação a y, tratando x como constante).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinhos, sem pular etapas):
- Derivada parcial: ao calcular \frac{\partial}{\partial x} tratamos y como constante; ao calcular \frac{\partial}{\partial y} tratamos x como constante.
- Regra do produto: se temos uma função u(x)v(x), então (uv)' = u'v + uv'. Para parciais é a mesma coisa, apenas derivando em relação à variável escolhida.
- Derivada do logaritmo: \dfrac{d}{dx}\big(\ln u(x)\big) = \dfrac{u'(x)}{u(x)}. Em particular \dfrac{d}{dx}(\ln x)=\dfrac{1}{x} e \dfrac{d}{dy}(\ln y)=\dfrac{1}{y}.
Essas são as ferramentas: produto + derivada do \ln, e lembrar de manter a outra variável fixa conforme a parcial.

Passo 3

Simplificação útil antes de derivar: usar \ln\left(\dfrac{x}{y}\right)=\ln x - \ln y. Portanto reescrevemos z como soma de termos mais simples:
z = x\ln x - x\ln y.
Essa escrita facilita a aplicação da regra do produto e deixa explícito quais termos dependem de x ou de y.

Passo 4

Cálculo de \frac{\partial z}{\partial x} (derivando em relação a x, com y constante).
Começamos de z = x\ln x - x\ln y.
- Derivada do primeiro termo x\ln x: é produto de u(x)=x e v(x)=\ln x. Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(x\ln x\big)=\frac{d}{dx}(x)\cdot\ln x + x\cdot\frac{d}{dx}(\ln x).
Calculando cada parte: \dfrac{d}{dx}(x)=1 e \dfrac{d}{dx}(\ln x)=\dfrac{1}{x}. Então
\frac{d}{dx}\big(x\ln x\big)=1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x}=\ln x + 1.
- Derivada do segundo termo -x\ln y: aqui \ln y é constante (porque estamos derivando em relação a x), então
\frac{d}{dx}\big(-x\ln y\big)=-\ln y \cdot \frac{d}{dx}(x)=-\ln y.
Somando os resultados:
\frac{\partial z}{\partial x}=(\ln x + 1) - \ln y = 1 + \ln x - \ln y.
Usando novamente \ln x - \ln y = \ln\!\left(\dfrac{x}{y}\right), uma forma mais compacta é
\frac{\partial z}{\partial x}=1+\ln\!\left(\frac{x}{y}\right).

Passo 5

Cálculo de \frac{\partial z}{\partial y} (derivando em relação a y, com x constante).
Voltemos a z = x\ln x - x\ln y.
- O termo x\ln x não depende de y (pois x é tratado como constante aqui), logo sua derivada parcial em relação a y é 0.
- O termo -x\ln y tem fator x constante e \ln y dependente de y. Aplicando a regra para constante vezes função:
\frac{\partial}{\partial y}\big(-x\ln y\big) = -x\cdot\frac{d}{dy}(\ln y) = -x\cdot\frac{1}{y} = -\frac{x}{y}.
Portanto
\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{x}{y}.
Também poderíamos ter usado diretamente \frac{\partial}{\partial y}\big(\ln(x/y)\big)=\frac{\partial}{\partial y}(\ln x-\ln y)= -\frac{1}{y} e então \frac{\partial z}{\partial y}=x\cdot\big(-\frac{1}{y}\big)=-\frac{x}{y}; dá o mesmo resultado.

Passo 6

Recapitulando (para gravar bem a técnica para a prova):
- Reescrever \ln(x/y) como \ln x-\ln y ajuda a separar dependências.
- Ao derivar parcialmente, trate a outra variável como constante.
- Use regra do produto quando a variável aparece multiplicando uma função (aqui x multiplicando o \ln).
- Resultado final simplificado é compacto e fácil de memorizar: \frac{\partial z}{\partial x}=1+\ln\!\left(\frac{x}{y}\right) e \frac{\partial z}{\partial y}=-\dfrac{x}{y}.
Força aí — repete esses passos em alguns exercícios parecidos e vira rotina!

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x}=1+\ln\!\left(\frac{x}{y}\right)
\frac{\partial z}{\partial y}=-\dfrac{x}{y}

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