Em cada um dos seguintes exercícios, calcule a derivada parcial indicada.
.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular as derivadas parciais
e
da função
Informações dadas e observações importantes:
- A função está escrita em termos de e
.
- Pelo logaritmo, assumimos o domínio e
, (isso é necessário para
estar definido).
- Precisamos encontrar duas coisas separadas: (derivada parcial em relação a
, tratando
como constante) e
(derivada parcial em relação a
, tratando
como constante).
- A função está escrita em termos de
- Pelo logaritmo, assumimos o domínio
- Precisamos encontrar duas coisas separadas:
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinhos, sem pular etapas):
- Derivada parcial: ao calcular tratamos
como constante; ao calcular
tratamos
como constante.
- Regra do produto: se temos uma função , então
. Para parciais é a mesma coisa, apenas derivando em relação à variável escolhida.
- Derivada do logaritmo: . Em particular
e
.
Essas são as ferramentas: produto + derivada do , e lembrar de manter a outra variável fixa conforme a parcial.
- Derivada parcial: ao calcular
- Regra do produto: se temos uma função
- Derivada do logaritmo:
Essas são as ferramentas: produto + derivada do
Passo 3
Simplificação útil antes de derivar: usar
. Portanto reescrevemos
como soma de termos mais simples:
Essa escrita facilita a aplicação da regra do produto e deixa explícito quais termos dependem de
ou de
.
Passo 4
Cálculo de
(derivando em relação a
, com
constante).
Começamos de
.
- Derivada do primeiro termo
: é produto de
e
. Aplicando a regra do produto:
Calculando cada parte:
e
. Então
- Derivada do segundo termo
: aqui
é constante (porque estamos derivando em relação a
), então
Somando os resultados:
Usando novamente
, uma forma mais compacta é
Passo 5
Cálculo de
(derivando em relação a
, com
constante).
Voltemos a
.
- O termo
não depende de
(pois
é tratado como constante aqui), logo sua derivada parcial em relação a
é
.
- O termo
tem fator
constante e
dependente de
. Aplicando a regra para constante vezes função:
Portanto
Também poderíamos ter usado diretamente
e então
; dá o mesmo resultado.
Passo 6
Recapitulando (para gravar bem a técnica para a prova):
- Reescrever como
ajuda a separar dependências.
- Ao derivar parcialmente, trate a outra variável como constante.
- Use regra do produto quando a variável aparece multiplicando uma função (aqui multiplicando o
).
- Resultado final simplificado é compacto e fácil de memorizar: e
.
Força aí — repete esses passos em alguns exercícios parecidos e vira rotina!
- Reescrever
- Ao derivar parcialmente, trate a outra variável como constante.
- Use regra do produto quando a variável aparece multiplicando uma função (aqui
- Resultado final simplificado é compacto e fácil de memorizar:
Força aí — repete esses passos em alguns exercícios parecidos e vira rotina!