No início de uma chuva sobre uma pequena área de solo, a capacidade de in-filtração era de 4,5
e, durante a chuva, decresceu de forma exponencial, segundo a lei de Horton, até praticamente atingir o equilíbrio no valor de
, depois de 10 h . Sabendo-se que um total de 30 mm de água infiltrou no solo durante o intervalo de 10 h , estimar o valor do parâmetro k de Horton.
Passo 1
O enunciado pede: estimar o valor do parâmetro
da lei de Horton, sabendo que durante
h infiltrou um total de
mm. Informações dadas:
O que se pede: determinar
(em
) compatível com os dados acima.
Passo 2
Apresentação da lei de Horton e definições das variáveis. A lei de Horton para a capacidade de infiltração diz, em geral:
onde:
-
é a capacidade de infiltração no instante (em ); -
é a capacidade inicial (= ); -
é a capacidade assintótica de equilíbrio; -
é o parâmetro de decaimento que queremos estimar (em ); -
é o tempo em horas.
No nosso caso
e
.
Passo 3
Trabalhando com o total infiltrado. O total infiltrado em
horas é a integral da taxa de infiltração:
Substituindo a expressão de Horton:
Integramos termo a termo:
A primeira integral dá
. A segunda integral é
Logo a fórmula fechada para o total infiltrado é
Passo 4
Aplicando os números do enunciado. Substituindo
,
,
e
(tudo em unidades consistentes mm e h):
Calcule
e
. Assim:
Subtraindo 5 de ambos os lados:
Multiplicando por
e rearranjando:
Isolando o expoente:
Dividindo por 4:
Observação de domínio: o lado direito deve ser positivo, logo
. Também
(decrescimento), então
.
Passo 5
Resolvendo numericamente a equação transcendental. Definimos a função
que deve ser zero no
solução. Derivada:
Usamos o método de Newton–Raphson (bom para convergência rápida quando a derivada não é nula). O passo iterativo é
Escolhemos uma estimativa inicial razoável dentro do intervalo, por exemplo
(está abaixo do máximo
). Agora mostramos as iterações com os cálculos aproximados (arredondando para clareza):
Iteração 0 (inicial):
Aplicando Newton:
Iteração 1:
Aplicando Newton:
Iteração 2:
Correção pequena:
logo
As correções já são muito pequenas; a solução convergiu para cerca de
.
Passo 6
Interpretação do resultado: o parâmetro
obtido indica a rapidez com que a capacidade de infiltração decai da condição inicial até o valor de equilibrio. O valor numérico encontrado está dentro do intervalo permitido
e satisfaz a equação original com boa precisão (ao substituir
na expressão de
obtém-se aproximadamente
).