Em cada um dos seguintes exercícios, esboce a curva descrita pelo ponto ( x, y ), abaixo:
x=2+1t e y=2-t, t>0.

Passo 1

O exercício apresenta a curva paramétrica definida por x=2+1t e y=2-t, com t>0. O conteúdo é eliminação de parâmetro e esboço de curva paramétrica.

Passo 2

Isolamos a variável t em função de y. Como y=2-t, temos
t=2-y
e, pelas condições do problema, t>0 implica y<2.

Passo 3

Substituímos t=2-y na expressão de x. Isso gera a relação implícita entre x e y:
x=2+12-y
Reconhecemos que é um ramo de hipérbole.

Passo 4

Identificamos as assíntotas da curva. Quando yto2^-, o denominador 2-yto0^+ e xto+infty, indicando assíntota horizontal y=2. Quando yto-infty, o termo 1/(2-y)to0^+ e xto2^+, indicando assíntota vertical x=2.

Passo 5

Analisamos o comportamento nos extremos de t:
  • Para tto0^+, temos y=2-tto2^- e x=2+1/tto+infty.
  • Para tto+infty, temos y=2-tto-infty e x=2+1/tto2^+.

Passo 6

Para esboçar, desenhe o ramo de hipérbole no setor x>2,,y<2, com assíntotas em x=2 e y=2, e indique a direção da curva com uma seta de t=0^+ (no infinito à direita próximo de y=2) até tto+infty (aproximando-se de x=2 quando yto-infty).

Resposta

Ramo de hipérbole no quadrante definido por x>2 e y<2, com assíntotas verticais e horizontais em x=2 e y=2, respectivamente. A curva vai de (x,y)to(+infty,2^-) quando tto0^+ até aproximar-se de (2^+,-infty) quando tto+infty, conforme indicado pela seta de crescimento de t.

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