Em cada um dos seguintes exercícios, esboce a curva descrita pelo ponto (
), abaixo:
.
Passo 1
O exercício apresenta a curva paramétrica definida por
e
, com
. O conteúdo é eliminação de parâmetro e esboço de curva paramétrica.
Passo 2
Isolamos a variável
em função de
. Como
, temos
e, pelas condições do problema,
implica
.
Passo 3
Substituímos
na expressão de
. Isso gera a relação implícita entre
e
:
Reconhecemos que é um ramo de hipérbole.
Passo 4
Identificamos as assíntotas da curva. Quando
, o denominador
e
, indicando assíntota horizontal
. Quando
, o termo
e
, indicando assíntota vertical
.
Passo 5
Analisamos o comportamento nos extremos de
:
- Para
, temos e . - Para
, temos e .
Passo 6
Para esboçar, desenhe o ramo de hipérbole no setor
, com assíntotas em
e
, e indique a direção da curva com uma seta de
(no infinito à direita próximo de
) até
(aproximando-se de
quando
).
Resposta
Ramo de hipérbole no quadrante definido por
e
, com assíntotas verticais e horizontais em
e
, respectivamente. A curva vai de
quando
até aproximar-se de
quando
, conforme indicado pela seta de crescimento de
.