Se
para todo
em
, então
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que se $ f(x, y) $ é sempre maior ou igual a $ g(x, y) $ para todo ponto $ (x, y) $ em $ R $, então a integral dupla de $ f $ sobre a região $ D $ também será maior ou igual à integral dupla de $ g $ sobre a mesma região. Isso está no conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre propriedades de integrais múltiplas e desigualdades. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são integrais duplas e como desigualdades funcionam dentro delas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que $ f(x, y) \geqslant g(x, y) $ para todo $ (x, y) $ em $ R $. Isso quer dizer que, em cada ponto da região $ R $, a função $ f $ nunca é menor que $ g $. Visualmente, se imaginarmos gráficos de ambas as funções sobre essa região, a superfície de $ f $ estaria sempre igual ou acima da de $ g $.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre integrais duplas. A integral dupla de uma função sobre uma região $ D $, escrita como $ \iint_{D} f(x, y) , dA $, representa o volume “sob” a superfície $ f(x, y) $ e “acima” da região $ D $. Se $ f $ é sempre maior ou igual a $ g $ nessa região, então o volume sob $ f $ deve ser maior ou igual ao volume sob $ g $.
Passo 4
Matematicamente, isso se baseia na propriedade das integrais que diz que se $ f(x, y) \geqslant g(x, y) $ em $ D $, então:
Isso ocorre porque estamos somando pontos onde $ f $ é pelo menos tão grande quanto $ g $, então o total acumulado (integral) para $ f $ não pode ser menor que para $ g $.
Resposta
Portanto, se $ f(x, y) \geqslant g(x, y) $ para todo $ (x, y) $ em $ R $, então a integral dupla de $ f $ sobre $ D $ é de fato maior ou igual à integral dupla de $ g $ sobre $ D $: