Nas seguintes funções vetoriais esboce o lugar geométrico.
f(t)=(cos 2 t, sin t),-4 pi <= t <= 4 pi.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o lugar geométrico da função vetorial f(t) = (cos 2t, sin t) para t ∈ [−4π, 4π]. O conteúdo é curvas paramétricas e vamos precisar eliminar o parâmetro usando identidades trigonométricas.

Passo 2

Denotando x = cos 2t e y = sin t, aplicamos a identidade do cosseno de ângulo duplo:
cos2t = 1 - 2sin^2t
Como y = sin t, temos sin^2t = y^2. Substituindo em x:
x = 1 - 2y^2
e organizando obtemos a equação cartesiana
x + 2y^2 = 1

Passo 3

Essa é a equação de uma parábola com eixo paralelo ao eixo y. O vértice fica em (1, 0) e a concavidade volta-se para a esquerda. Como t varia em [−4π, 4π], y = sin t percorre todo [−1, 1]. Logo traçamos o ramo completo da parábola para y ∈ [−1, 1], cujos extremos são:
“Para y = 0: x = 1;”
“Para y = ±1: x = 1 - 2·1 = -1.”

Passo 4

Dessa forma temos o esboço de uma parábola que vai de (-1, -1) até (-1, 1) passando pelo vértice (1, 0).

Resposta

O lugar geométrico é a parábola dada por x + 2y² = 1, com y variando em [−1, 1], vértice em (1, 0) e extremidades em (−1, ±1).

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