Para cada um dos seguintes experimentos, descreva um espaço de probabilidade que sirva de modelo:
c) Quinze bolas são retiradas, ao acaso e com reposição, de uma urna contendo 5 bolas vermelhas, 9 bolas pretas, e uma bola branca. Observa-se o número de vezes que ocorre cada cor.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz assim: a gente tira 15 bolas de uma urna que tem 5 vermelhas, 9 pretas e 1 branca, sempre com reposição, e só anotamos quantas vezes saiu cada cor. O conteúdo é modelo de espaço de probabilidade, mais especificamente a distribuição multinomial. Para resolver, vamos lembrar:
  • O espaço de resultados (Ω) vai ser um conjunto de triplas (x,y,z) que dizem quantas vermelhas, pretas e brancas saíram, com a soma dando 15.
  • A probabilidade de cada tripla vem da fórmula da multinomial, usando as “chances” de cada cor em uma retirada.

Passo 2

Definindo o espaço de resultados Ω. Cada resultado é um vetor (x,y,z), onde:
  • x = número de bolas vermelhas que saíram
  • y = número de bolas pretas que saíram
  • z = número de bolas brancas que saíram
    Como tiramos 15 bolas, tem de valer
x + y + z = 15
e cada um Omega = (x,y,z)inN0^3 : x+y+z=15 é um número inteiro não-negativo.
Logo:

Passo 3

Agora a gente precisa da probabilidade de cada Pl((x,y,z)r) =15!x!,y!,z!l(tfrac13r)^x l(tfrac35r)^y l(tfrac115r)^z. Em cada retirada:
  • ,
  • ,
Como as retiradas são independentes (tem reposição), a probabilidade de uma sequência com exatamente vermelhas, pretas e brancas é dada pela fórmula multinomial:

Resposta

Espaço de probabilidade adequado:
Ω = { (x,y,z) ∈ ℕ₀³ ∶ x+y+z=15 }
Para cada (x,y,z) em Ω,
$

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