Para cada um dos seguintes experimentos, descreva um espaço de probabilidade que sirva de modelo:
c) Quinze bolas são retiradas, ao acaso e com reposição, de uma urna contendo 5 bolas vermelhas, 9 bolas pretas, e uma bola branca. Observa-se o número de vezes que ocorre cada cor.
c) Quinze bolas são retiradas, ao acaso e com reposição, de uma urna contendo 5 bolas vermelhas, 9 bolas pretas, e uma bola branca. Observa-se o número de vezes que ocorre cada cor.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz assim: a gente tira 15 bolas de uma urna que tem 5 vermelhas, 9 pretas e 1 branca, sempre com reposição, e só anotamos quantas vezes saiu cada cor. O conteúdo é modelo de espaço de probabilidade, mais especificamente a distribuição multinomial. Para resolver, vamos lembrar:
- O espaço de resultados (Ω) vai ser um conjunto de triplas (x,y,z) que dizem quantas vermelhas, pretas e brancas saíram, com a soma dando 15.
- A probabilidade de cada tripla vem da fórmula da multinomial, usando as “chances” de cada cor em uma retirada.
Passo 2
Definindo o espaço de resultados Ω. Cada resultado é um vetor (x,y,z), onde:
- x = número de bolas vermelhas que saíram
- y = número de bolas pretas que saíram
- z = número de bolas brancas que saíram
Como tiramos 15 bolas, tem de valer
e cada um
Logo:
Passo 3
Agora a gente precisa da probabilidade de cada
. Em cada retirada:
-
, -
, -
Como as retiradas são independentes (tem reposição), a probabilidade de uma sequência com exatamente
vermelhas,
pretas e
brancas é dada pela fórmula multinomial:
Resposta
Espaço de probabilidade
adequado:
Ω = { (x,y,z) ∈ ℕ₀³ ∶ x+y+z=15 }
Para cada (x,y,z) em Ω,
Ω = { (x,y,z) ∈ ℕ₀³ ∶ x+y+z=15 }
Para cada (x,y,z) em Ω,
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