- 1200 se inscreveram para a prova da UnB;
- 900 se inscreveram para a prova da UFMG;
- 710 se inscreveram para a prova da Unesp;
- O número de candidatos que se inscreveram apenas para a UnB e para a Unesp (mas não para a UFMG) é igual ao número que se inscreveu para UFMG e para Unesp.
- O número de vestibulandos que se inscreveu para apenas uma faculdade é o triplo do número que se inscreveu para as três faculdades.
- O número de vestibulando que se inscreveram em apenas duas faculdades corresponde a 1030 candidatos.
- 35 não se inscreveram em nenhuma delas.
Responda: Quantos vestibulandos havia no grupo da pesquisa?
Responda: Quantos vestibulandos havia no grupo da pesquisa?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão tá perguntando e qual matéria vamos usar. O enunciado fala sobre um grupo de vestibulandos que fizeram inscrições em três faculdades diferentes: UnB, UFMG e Unesp. A gente precisa descobrir quantos vestibulandos tem no total no grupo da pesquisa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de conjuntos e diagrama de Venn, que ajudam a visualizar e contar sobreposições entre grupos. Vamos precisar organizar as informações dadas e usar umas equações básicas para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos listar todas as informações que a gente tem:
- 1200 se inscreveram para a UnB.
- 900 se inscreveram para a UFMG.
- 710 se inscreveram para a Unesp.
- O número que se inscreveu apenas para UnB e Unesp (mas não para UFMG) é igual ao número que se inscreveu para UFMG e Unesp.
- O número de vestibulandos que se inscreveram para uma única faculdade é o triplo do número que se inscreveu para as três faculdades.
- O número que se inscreveu em apenas duas faculdades é 1030.
- 35 não se inscreveram em nenhuma das três faculdades.
Vamos chamar de $ x $ o número de vestibulandos que se inscreveram nas três faculdades.
Passo 3
Segundo a informação, o número que se inscreveu apenas para uma faculdade é o triplo de $ x $. Então, podemos dizer que:
Também sabemos que o número que se inscreveu em apenas duas faculdades é 1030. Isso inclui todas as combinações de duas faculdades, mas já que a quantidade de UnB e Unesp que não inclui UFMG é igual ao de UFMG e Unesp, podemos dividir esse total igualmente:
Então:
Passo 4
Agora, vamos usar as informações para cada faculdade. Vamos começar pela UnB:
Como já sabemos que:
Substituindo na equação da UnB:
Passo 5
Fazemos o mesmo para a UFMG:
Sabemos que:
Substituindo na equação da UFMG:
Hmm, parece que erramos algo. Vamos corrigir.
Passo 6
Na verdade, o número que se inscreveu apenas para uma faculdade é triplo do que se inscreveu para as três, então:
Assumimos que:
Mas isso não faz sentido, então vamos reconsiderar. Na verdade, a soma das apenas uma faculdade é $ 3x $, mas cada uma pode ser diferente. Vamos chamar:
Então:
E:
E o total geral será:
Passo 7
Vamos voltar às equações das faculdades. Para UnB:
Sabemos que:
Então:
Como $ a + b + c = 3x $ e estamos considerando apenas UnB para $ a $, assumimos que $ a = x $, então:
Passo 8
Agora que descobrimos que $ x = 85 $, podemos calcular os demais valores:
Resposta
Havia 1405 vestibulandos no grupo da pesquisa.