• 1200 se inscreveram para a prova da UnB;
  • 900 se inscreveram para a prova da UFMG;
  • 710 se inscreveram para a prova da Unesp;
  • O número de candidatos que se inscreveram apenas para a UnB e para a Unesp (mas não para a UFMG) é igual ao número que se inscreveu para UFMG e para Unesp.
  • O número de vestibulandos que se inscreveu para apenas uma faculdade é o triplo do número que se inscreveu para as três faculdades.
  • O número de vestibulando que se inscreveram em apenas duas faculdades corresponde a 1030 candidatos.
  • 35 não se inscreveram em nenhuma delas.
    Responda: Quantos vestibulandos havia no grupo da pesquisa?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá perguntando e qual matéria vamos usar. O enunciado fala sobre um grupo de vestibulandos que fizeram inscrições em três faculdades diferentes: UnB, UFMG e Unesp. A gente precisa descobrir quantos vestibulandos tem no total no grupo da pesquisa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de conjuntos e diagrama de Venn, que ajudam a visualizar e contar sobreposições entre grupos. Vamos precisar organizar as informações dadas e usar umas equações básicas para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as informações que a gente tem:
  • 1200 se inscreveram para a UnB.
  • 900 se inscreveram para a UFMG.
  • 710 se inscreveram para a Unesp.
  • O número que se inscreveu apenas para UnB e Unesp (mas não para UFMG) é igual ao número que se inscreveu para UFMG e Unesp.
  • O número de vestibulandos que se inscreveram para uma única faculdade é o triplo do número que se inscreveu para as três faculdades.
  • O número que se inscreveu em apenas duas faculdades é 1030.
  • 35 não se inscreveram em nenhuma das três faculdades.
Vamos chamar de $ x $ o número de vestibulandos que se inscreveram nas três faculdades.

Passo 3

Segundo a informação, o número que se inscreveu apenas para uma faculdade é o triplo de $ x $. Então, podemos dizer que:
x
Também sabemos que o número que se inscreveu em apenas duas faculdades é 1030. Isso inclui todas as combinações de duas faculdades, mas já que a quantidade de UnB e Unesp que não inclui UFMG é igual ao de UFMG e Unesp, podemos dividir esse total igualmente:
Apenas uma faculdade = 3x
Então:
UnB e Unesp apenas = UFMG e Unesp apenas = 10302 = 515

Passo 4

Agora, vamos usar as informações para cada faculdade. Vamos começar pela UnB:
Total UnB = Apenas UnB + UnB e UFMG apenas + UnB e Unesp apenas + Todas as três ê
Como já sabemos que:
Apenas UnB = Apenas uma faculdade / 3 = x UnB e Unesp apenas = 515 Todas as três = x ê
Substituindo na equação da UnB:
1200 = x + UnB e UFMG apenas + 515 + x 1200 = 2x + UnB e UFMG apenas + 515 UnB e UFMG apenas = 1200 - 2x - 515 UnB e UFMG apenas = 685 - 2x

Passo 5

Fazemos o mesmo para a UFMG:
Total UFMG = Apenas UFMG + UnB e UFMG apenas + UFMG e Unesp apenas + Todas as três ê
Sabemos que:
Apenas UFMG = x UFMG e Unesp apenas = 515 Todas as três = x ê
Substituindo na equação da UFMG:
900 = x + (685 - 2x) + 515 + x 900 = x + 685 - 2x + 515 + x 900 = 1200
Hmm, parece que erramos algo. Vamos corrigir.

Passo 6

Na verdade, o número que se inscreveu apenas para uma faculdade é triplo do que se inscreveu para as três, então:
Apenas UnB + Apenas UFMG + Apenas Unesp = 3x
Assumimos que:
Apenas UnB = Apenas UFMG = Apenas Unesp = x
Mas isso não faz sentido, então vamos reconsiderar. Na verdade, a soma das apenas uma faculdade é $ 3x $, mas cada uma pode ser diferente. Vamos chamar:
3x
Então:
Apenas UnB = a Apenas UFMG = b Apenas Unesp = c
E:
a + b + c = 3x êã
E o total geral será:
Total inscritos apenas uma faculdade = 3x Total inscritos em duas faculdades = 1030 Total inscritos nas três faculdades = x Não se inscreveram em nenhuma = 35

Passo 7

Vamos voltar às equações das faculdades. Para UnB:
1200 = a + (UnB e UFMG apenas) + (UnB e Unesp apenas) + x
Sabemos que:
Então:
UnB e Unesp apenas = UFMG e Unesp apenas = 10302 = 515 UnB e UFMG apenas = 515 (pois o enunciado diz que UnB e Unesp apenas = UFMG e Unesp apenas)
Como $ a + b + c = 3x $ e estamos considerando apenas UnB para $ a $, assumimos que $ a = x $, então:
1200 = a + 515 + 515 + x 1200 = a + 1030 + x a + x = 170

Passo 8

Agora que descobrimos que $ x = 85 $, podemos calcular os demais valores:
x = 85

Resposta

Havia 1405 vestibulandos no grupo da pesquisa.

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