Para cada um dos seguintes experimentos, descreva um espaço de probabilidade que sirva de modelo:
b) Retiram-se cartas sucessivamente de um baralho de 52 cartas, ao acaso e com reposição, até retirar-se o primeiro rei. Registra-se o número total de retiradas.
b) Retiram-se cartas sucessivamente de um baralho de 52 cartas, ao acaso e com reposição, até retirar-se o primeiro rei. Registra-se o número total de retiradas.
Passo 1
Beleza, olha só o que pedem: “A gente puxa cartas de um baralho de 52, com reposição, até sair o primeiro rei. Anota quantas retiradas foram necessárias.” Isso é teoria de probabilidade (espaço amostral e lei de probabilidade). Para resolver, vamos precisar saber sobre ensaios de Bernoulli (sucesso/fracasso), independência e distribuição geométrica (número de tentativas até o primeiro sucesso).
Passo 2
Definindo o espaço amostral Ω e a σ-álgebra ℱ
- Cada resultado possível é “o primeiro rei saiu na k-ésima retirada”, com k = 1,2,3,…
- Logo, o espaço amostral é
- Como é discreto, a σ-álgebra natural é todas as partes de Ω:
Passo 3
Definindo a medida de probabilidade P
- Em cada retirada a chance de sair rei é
e de não sair rei é
- Os ensaios são independentes (porque há reposição).
- Pelo modelo geométrico, a probabilidade de o primeiro sucesso (rei) ocorrer exatamente na k-ésima tentativa é
Resposta
O espaço de probabilidade é
com
• ,
• ,
• Para todo ,
•
•
• Para todo