Para cada um dos seguintes experimentos, descreva um espaço de probabilidade que sirva de modelo:
e) Suponhamos que dez cartas estejam numeradas de 1 até 10 . Das dez cartas, retira-se uma de cada vez, ao acaso e sem reposição, até retirar o primeiro número par. Contase o número de retiradas necessárias.
e) Suponhamos que dez cartas estejam numeradas de 1 até 10 . Das dez cartas, retira-se uma de cada vez, ao acaso e sem reposição, até retirar o primeiro número par. Contase o número de retiradas necessárias.
Passo 1
Beleza, o enunciado é o seguinte: temos 10 cartas numeradas de 1 até 10, a gente vai tirando uma de cada vez, sem repor, até aparecer a primeira carta com número par. A variável aleatória
é “quantas retiradas foram necessárias”. O conteúdo aqui é espaço de probabilidade discreto e regra do produto (probabilidades condicionais em sequência sem reposição).
Passo 2
Primeiro, qual é o nosso espaço de resultados possíveis? Se a primeira carta que sai já for par,
. No pior caso, a gente tira todas as 5 cartas ímpares (1,3,5,7,9) nas 5 primeiras retiradas, e aí a sexta é obrigatoriamente uma das 5 pares restantes, dando
. Portanto
Passo 3
Agora, como calcular a probabilidade de cada
? Para parar exatamente em
, a gente precisa tirar
cartas ímpares seguidas e só então, na
-ésima, sair uma carta par. Como são 5 ímpares e 5 pares no total, pela regra do produto (e sem reposição):
Mais explicitamente, o produto das probabilidades de tirar cada ímpar nas
primeiras extrações vezes a probabilidade de tirar um par na extração
.
Passo 4
Para simplificar a escrita, note que o numerador do produto para os ímpares é
depois multiplicamos por
.
Resposta
O espaço de probabilidade é dado por
e para cada
Esse modelo descreve perfeitamente a chance de precisar de
retiradas até sair a primeira carta par.