Para cada uma das seguintes funções ache lim x 2 f(x)-f(2)x-2
a) f(x)=3 x^2+5 x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o limite limx 2 f(x) - f(2)x - 2 para a função f(x) = 3x^2 + 5x - 1. Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de derivadas, especificamente usando a definição de derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que esse limite representa. Ele é, na verdade, a definição da derivada de f no ponto x = 2. Ou seja, limx a f(x) - f(a)x - a é a derivada de f em a.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa função. Temos f(x) = 3x^2 + 5x - 1. Primeiro, precisamos calcular f(2):
f(2) = 3(2)^2 + 5(2) - 1 = 3 times 4 + 10 - 1 = 12 + 10 - 1 = 21

Passo 4

Substituindo f(x) e f(2) na expressão do limite, temos:
limx 2 3x^2 + 5x - 1 - 21x - 2 = limx 2 3x^2 + 5x - 22x - 2

Passo 5

Agora, precisamos simplificar o numerador. Vamos fatorar a expressão 3x^2 + 5x - 22. Procuramos dois números que multiplicados dão 3 times (-22) = -66 e somados dão 5. Esses números são 11 e -6.
Então, reescrevemos o polinômio:
3x^2 + 11x - 6x - 22 = (3x^2 + 11x) - (6x + 22) = x(3x + 11) - 2(3x + 11) = (x - 2)(3x + 11)

Passo 6

Agora, nosso limite fica:
limx 2 (x - 2)(3x + 11)x - 2
Podemos cancelar o termo (x - 2) no numerador e denominador:
limx 2 3x + 11

Passo 7

Finalmente, substituímos x por 2:
3(2) + 11 = 6 + 11 = 17

Resposta

O limite limx 2 f(x) - f(2)x - 2 é igual a 17.

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