Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada.
(x \frac{d y}{d x}+y=\frac{1}{y^{2}})
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
O conteúdo aqui é resolver uma equação não linear por meio de uma substituição que torne o problema separável ou linear. Vamos notar que, ao multiplicar por , aparece , o que sugere a substituição
Passo 2
Definimos
Diferenciando em relação a , obtemos
Agora reescrevemos a equação original isolando . Multiplicando
por , vem
Passo 3
Substituindo e temos
Essa é uma equação separável em e .
Passo 4
Separamos e integramos:
Exponenciando, obtemos
v=C1,x^-3,
onde C1=e^C é constante arbitrária.
Passo 5
Voltando à variável y, lembrando que v=y^3-1, temos