Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada.
(x \frac{d y}{d x}+y=\frac{1}{y^{2}})

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
xdydx+y=1y^2
O conteúdo aqui é resolver uma equação não linear por meio de uma substituição que torne o problema separável ou linear. Vamos notar que, ao multiplicar por y^2, aparece 1-y^3, o que sugere a substituição
v=y^3-1

Passo 2

Definimos
v=y^3-1
Diferenciando em relação a x, obtemos
dvdx=3y^2dydx
Agora reescrevemos a equação original isolando x y^2tfracdydx. Multiplicando
xdydx+y=1y^2
por y^2, vem
x,y^2dydx+y^3=1 Longrightarrow x,y^2dydx=1-y^3=-l(y^3-1r)=-v

Passo 3

Substituindo x,y^2tfracdydx=-v e tfracdvdx=3y^2tfracdydx temos
x,y^2dydx=-v Longrightarrow x3,dvdx=-v Longrightarrow dvdx=-3vx
Essa é uma equação separável em v e x.

Passo 4

Separamos e integramos:
dvv=-3,dxx Longrightarrow integraldvv=-3integraldxx Longrightarrow lnl|vr|=-3lnl|xr|+C
Exponenciando, obtemos
v=C1,x^-3,
onde C1=e^C é constante arbitrária.

Passo 5

Voltando à variável y, lembrando que v=y^3-1, temos
y^3-1=C1,x^-3 Longrightarrow y^3=1+C1,x^-3 Longrightarrow y=l(1+C1,x^-3r)^!1/3

Resposta

y=l(1+C,x^-3r)^1/3,
com C constante de integração.

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