Para cada uma das seguintes funções ache
lim x 2 f(x)-f(2)x-2
(f) f(x)=x^{3}

Passo 1

O enunciado pede
limxto 2f(x)-f(2)x-2
para f(x)=x^3. Esse limite é a definição de derivada de f em x=2. Vamos usar fatoração para simplificar o quociente.

Passo 2

Calcular f(2) e escrever a diferença:
f(2)=2^3=8, f(x)-f(2)=x^3-8

Passo 3

Fatorar a diferença usando a soma e diferença de cubos:
x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)

Passo 4

Substituir na expressão do limite e simplificar o fator (x-2):
f(x)-f(2)x-2 =(x-2)(x^2+2x+4)x-2 =x^2+2x+4(xneq2)

Passo 5

Avaliar o limite agora direto:
limxto 2(x^2+2x+4) =2^2+2cdot2+4 =4+4+4 =12

Resposta

12

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