Seam H e K subgrupos de um grupo G. Prove que
e
é um subgrupo de G se e somente se
e
Passo 1
O enunciado diz que
e
são subgrupos de um grupo
e define
Precisamos mostrar a equivalência
onde
Para isso usemos o critério de subgrupo: um subconjunto não-vazio é subgrupo se e somente se está fechado em produto e inversos.
Passo 2
Suponha
seja subgrupo de
. Então
. Mas
Como
e
são subgrupos,
e
. Logo
Isto mostra
.
Passo 3
Agora suponha
. Primeiro,
, pois
e
.
Em seguida, tomemos dois elementos quaisquer em :
Em seguida, tomemos dois elementos quaisquer em
com
e
. Então
Como
e
, existe
,
tais que
Logo
onde
e
. Portanto
, provando fechamento em produto.
Passo 4
Falta mostrar fechamento em inversos. Seja
. Então
Como
e
, segue
. Mas
, logo
. Assim
satisfaz todos os critérios de subgrupo.
Resposta
Mostramos que
se e somente se
.