Seam H e K subgrupos de um grupo G. Prove que H K=x y mid x in H e y in K é um subgrupo de G se e somente se H K=K H=x y mid x in K e y in H

Passo 1

O enunciado diz que H e K são subgrupos de um grupo G e define
HK = ,xy mid xin H,;yin K
Precisamos mostrar a equivalência
HK<= G Long<=ftrightarrow HK = KH,
onde
KH = ,yx mid yin K,;xin H
Para isso usemos o critério de subgrupo: um subconjunto não-vazio é subgrupo se e somente se está fechado em produto e inversos.

Passo 2

Suponha HK seja subgrupo de G. Então (HK)^-1=HK. Mas
(HK)^-1 = (xy)^-1mid xin H,;yin K = ,y^-1x^-1mid xin H,;yin K = K^-1H^-1
Como H e K são subgrupos, H^-1=H e K^-1=K. Logo
(KH) = K,H = (HK)^-1 = HK
Isto mostra HK=KH.

Passo 3

Agora suponha HK=KH. Primeiro, e=ecdot ein HK, pois ein H e ein K.
Em seguida, tomemos dois elementos quaisquer em HK:
a = h1k1, b = h2k2,
com h1,h2in H e k1,k2in K. Então
ab = h1,k1,h2,k2
Como k1h2in KH e KH=HK, existe h3in H, k3in K tais que
k1h2 = h3k3
Logo
ab = h1,h3,k3,k2,
onde h1h3in H e k3k2in K. Portanto abin HK, provando fechamento em produto.

Passo 4

Falta mostrar fechamento em inversos. Seja a = hkin HK. Então
a^-1 = (hk)^-1 = k^-1h^-1
Como h^-1in H e k^-1in K, segue k^-1h^-1in KH. Mas KH=HK, logo a^-1in HK. Assim HK satisfaz todos os critérios de subgrupo.

Resposta

Mostramos que HK<= G se e somente se HK=KH.

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