pode-se provar que o conjunto das matrizes abaixo é um subgrupo das matrizes
, invertíveis, sobre
. Construa a tábua desse subgrupo.
Passo 1
O enunciado diz que
E,A,B,C,D,F é um subgrupo de
GL2(R) com
Pede-se a tábua de multiplicação (Cayley table) deste grupo.
Passo 2
Identificamos as relações fundamentais:
-
é elemento neutro, entãoE eE X = X para todoX E = X .X -
(troca de coordenadas duas vezes dá identidade).A^2=E -
, e de fatoB^3=E .B^2=D - Observa-se que
Com essas relações podemos gerar todos os produtos.
Passo 3
Linha correspondente a
A . Usamos
A^2=E ,
A,B=C e depois
Passo 4
Linha correspondente a
B . Como
B^2=D e
B^3=E , além de
Passo 5
Linha correspondente a
C . Usamos
C=A,B e as regras já obtidas:
Passo 6
Linha correspondente a
D e
F . Como
D=B^2 e
F=B,A , temos
Resposta
Segue a tábua de multiplicação, em que a entrada da linha
X e coluna
Y é
X,Y :
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