pode-se provar que o conjunto das matrizes abaixo é um subgrupo das matrizes 2 times 2, invertíveis, sobre R. Construa a tábua desse subgrupo.
E=[ll1 & 0 0 & 1], A=[ll0 & 1 1 & 0], B=[cc0 & 1 -1 & -1], C=[cc-1 & -1 0 & 1], D=[cc-1 & -1 1 & 0], F=[cc1 & 0 -1 & -1]

Passo 1

O enunciado diz que
E,A,B,C,D,F é um subgrupo de GL2(R) com
E=1&00&1,; A=0&11&0,; B=0&1-1&-1,
C=-1&-10&1,; D=-1&-11&0,; F=1&0-1&-1
Pede-se a tábua de multiplicação (Cayley table) deste grupo.

Passo 2

Identificamos as relações fundamentais:
  1. E é elemento neutro, então E X = X e X E = X para todo X.
  2. A^2=E (troca de coordenadas duas vezes dá identidade).
  3. B^3=E, e de fato B^2=D.
  4. Observa-se que
C = A,B, D=B^2, F=B,A
Com essas relações podemos gerar todos os produtos.

Passo 3

Linha correspondente a A. Usamos A^2=E, A,B=C e depois
A,C = A,(A,B) = (A^2),B = B, A,D = A,(B^2) = (A,B),B = C,B = F,
A,F = A,(B,A) = (A,B),A = C,A = D

Passo 4

Linha correspondente a B. Como B^2=D e B^3=E, além de
B,A = F, B,C = B,(A,B) = (B,A),B = F,B = A, B,D = B^3 = E, B,F = B,(B,A) = (B^2),A = D,A = C

Passo 5

Linha correspondente a C. Usamos C=A,B e as regras já obtidas:
C,A = D,; C,B = F,; C^2 = C,(A,B) = (C,A),B = D,B = E,; C,D = (C,B),B = F,B = A,; C,F = (C,B),A = F,A = B

Passo 6

Linha correspondente a D e F. Como D=B^2 e F=B,A, temos
D,A = (B^2),A = B,(B,A) = B,F = C,; D,B = B^3 = E,;D,C = (D,A),B = C,B = F,; D^2 = B^4 = B,
D,F = (D,B),A = A, F,A = B,;F,B = A,;F,C = B,B = D,; F,D = (F,B),B = A,B = C,;F^2=E

Resposta

Segue a tábua de multiplicação, em que a entrada da linha X e coluna Y é X,Y:
times E A B C D F
E E A B C D F
A A E C B F D
B B F D A E C
C C D F E A B
D D C E F B A
F F B A D C E

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