Para cada uma das seguintes funções, considere o domínio máximo possível. Diga qual das funções são invertíveis. Justifique.
(0,5 pt) f(x)=raiz2 x-4

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=raiz2x-4
e pede para determinar o domínio máximo, verificar se f é invertível e justificar.

Passo 2

Encontramos o domínio impondo o radicando não negativo:
2x-4>=0 ;Longrightarrow; x>=2
Logo o domínio máximo é [2,infty).

Passo 3

Para testar invertibilidade, examinamos a monotonicidade. Derivando,
f'(x)=ddxl(raiz2x-4r) =12raiz2x-4cdot2 =1raiz2x-4
Como em [2,infty) temos raiz2x-4>0, então f'(x)>0 em todo o domínio. Logo f é estritamente crescente e, portanto, injetora.

Passo 4

Sendo injetora e seu domínio é um intervalo, f é invertível. Para obter a inversa, trocamos y=f(x) e resolvemos:
y=raiz2x-4 ;Longrightarrow; y^2=2x-4 ;Longrightarrow; x=y^2+42
Assim
f^-1(y)=y^2+42,
com domínio [0,infty).

Resposta

A função f(x)=raiz2x-4 é invertível no domínio [2,infty), e sua inversa é
f^-1(y)=y^2+42

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