Questão 3 (1,5 pontos)
Mostre que
dd x[x^-3 J3(x)]=-x^-3 J4(x)
onde Jn(x)=summ=0^infty (-1)^mm!(n+m)!(x2)^2 m+n

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para a função de Bessel de primeira espécie definida por
Jn(x)=summ=0^infty(-1)^mm!,(n+m)!l(x2r)^2m+n,
vale
ddxl[x^-3J3(x)r]=-,x^-3J4(x)
Para isso vamos usar regras de derivação (produto e cadeia) e duas identidades usuais de funções de Bessel:
  1. A derivada
Jn'(x)=Jn-1(x)-Jn+1(x)2
  1. A relação de recorrência
2nxJn(x)=Jn-1(x)+Jn+1(x)

Passo 2

Defina
y(x)=x^-3J3(x)
Aplicando a regra do produto (com u=x^-3 e v=J3(x)) obtemos
y'(x) = ddx(x^-3);J3(x) + x^-3;J3'(x) = -3x^-4J3(x) + x^-3J3'(x)

Passo 3

Use a identidade da derivada de Bessel com n=3:
J3'(x)=J2(x)-J4(x)2
Substituindo em y'(x)
y'(x) = -3x^-4J3(x) + x^-3cdotJ2(x)-J4(x)2 = -3x^-4J3(x) + x^-32l(J2(x)-J4(x)r)

Passo 4

Colocamos tudo sobre o mesmo denominador x^4:
y'(x) = l[-3J3(x) + tfracx2l(J2(x)-J4(x)r)r],x^-4

Passo 5

Agora usamos a relação de recorrência para n=3:
2cdot3xJ3(x)=J2(x)+J4(x) Longrightarrow J2(x)=6xJ3(x)-J4(x)
Logo
J2(x)-J4(x) =6xJ3(x)-2J4(x) Longrightarrow x2l(J2-J4r)=3J3(x)-xJ4(x)

Passo 6

Substituindo esse resultado em y'(x):
y'(x) =l[-3J3(x)+l(3J3(x)-xJ4(x)r)r]x^-4 =l[-xJ4(x)r],x^-4 =-,x^-3J4(x)

Resposta

ddxl[x^-3J3(x)r]=-,x^-3J4(x)

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