Problema 09 Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=x^2-3+4 no ponto (1, f(1)).

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=x^2-3+4 no ponto de abscissa x=1. O conteúdo principal é derivada de função e uso da forma ponto-inclinação da reta. Para resolver, precisamos (a) calcular f(1), (b) obter f'(x) e avaliá-la em x=1, e (c) usar a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Calcular o valor de f em x=1:
f(1)=1^2-3+4=1-3+4=2
Logo, o ponto de tangência é (1,2).

Passo 3

Encontrar a derivada de f. Como f(x)=x^2-3+4 simplifica-se para f(x)=x^2+1, temos
f'(x)=2x
A inclinação da reta tangente em x=1 é
m=f'(1)=2cdot1=2

Passo 4

Usar a forma ponto-inclinação da reta tangente:
y - y0=m,(x - x0),
onde (x0,y0)=(1,2) e m=2. Substituindo,
y - 2 = 2,(x - 1)
Agora simplificamos:
y - 2 = 2x - 2 Longrightarrow y = 2x

Resposta

A equação da reta tangente é y=2x.

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