Para cada uma das seguintes funções, decida quais são limitadas superior ou inferiormente no intervalo indicado, e quais assumem seu valor máximo ou mínimo. (Note que
pode ter essas propriedades mesmo se
não for contínua, e mesmo se o intervalo não for um intervalo fechado.)
em
.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a função
no intervalo aberto
, identificando se ela é limitada superior ou inferiormente e se assume valor máximo ou mínimo nesse intervalo. Vamos usar conceitos de supremo, ínfimo, máximo e mínimo de uma função.
Passo 2
Como
varia em
, temos sempre
. Elevando ao quadrado, obtemos
Portanto,
é limitada inferiormente por
e limitada superiormente por
.
Passo 3
O ínfimo de
é
. Como
e
, esse valor mínimo é de fato atingido no ponto
.
Passo 4
O supremo de
é
. No entanto, não existe
tal que
, logo
não assume valor máximo no intervalo.
Passo 5
Concluímos que
em
é limitada acima (por 1) e abaixo (por 0), atinge o mínimo
em
, mas não atinge o máximo.
Resposta
f é limitada inferiormente por 0 e superiormente por 1; assume o valor mínimo 0 em x=0; não assume valor máximo no intervalo (-1,1).