Para cada uma das seguintes funções, decida quais são limitadas superior ou inferiormente no intervalo indicado, e quais assumem seu valor máximo ou mínimo. (Note que f pode ter essas propriedades mesmo se f não for contínua, e mesmo se o intervalo não for um intervalo fechado.)
f(x)=x^2 em (-1,1).

Passo 1

O enunciado pede para analisar a função f(x)=x^2 no intervalo aberto (-1,1), identificando se ela é limitada superior ou inferiormente e se assume valor máximo ou mínimo nesse intervalo. Vamos usar conceitos de supremo, ínfimo, máximo e mínimo de uma função.

Passo 2

Como x varia em (-1,1), temos sempre -1. Elevando ao quadrado, obtemos
0<= x^2<1
Portanto, f(x) é limitada inferiormente por 0 e limitada superiormente por 1.

Passo 3

O ínfimo de f é inf f=0. Como f(0)=0 e 0in(-1,1), esse valor mínimo é de fato atingido no ponto x=0.

Passo 4

O supremo de f é sup f=1. No entanto, não existe xin(-1,1) tal que x^2=1, logo f não assume valor máximo no intervalo.

Passo 5

Concluímos que f(x)=x^2 em (-1,1) é limitada acima (por 1) e abaixo (por 0), atinge o mínimo 0 em x=0, mas não atinge o máximo.

Resposta

f é limitada inferiormente por 0 e superiormente por 1; assume o valor mínimo 0 em x=0; não assume valor máximo no intervalo (-1,1).

Exercícios relacionados