(a) Suponha que f é uma função que satisfaz a condição: |f(x)| <=|x|, para todo x. Mostre que f é contínua em 0 . (Note que f(0) deve ser igual a 0 .)
(b) Dê um exemplo de tal função f que não é contínua em nenhum a neq 0.
© Suponha que g é contínua em 0, g(0)=0 e |f(x)| <=|g(x)|. Prove que f é contínua em 0 .

Passo 1

O exercício trata de continuidade em um ponto usando a definição \delta–\varepsilon e funções limitadas por outra; vamos usar a condição |f(x)| \le |x| (ou |g(x)|) para mostrar que f(0)=0 e, em seguida, escolher \delta em função de \varepsilon.

Passo 2

Como |f(0)| \le |0| = 0 segue que f(0)=0. Dado \varepsilon>0, basta escolher \delta = \varepsilon. Se |x-0|<\delta então |f(x)-f(0)| = |f(x)| \le |x| = |x-0| < \delta = \varepsilon, mostrando que f é contínua em 0.

Passo 3

Um exemplo de função que satisfy |f(x)| \le |x| mas é descontínua em todo a \neq 0 é
$$
f(x)= f(x)= x,&se xinQ, 0,&se xnotinQ
$$
Com isso |f(x)| é ou |x| (racionais) ou 0 (irracionais), logo |f(x)| \le |x|. Para qualquer a \neq 0 existem sequências racionais e irracionais convergindo a a cujos limites de f são a e 0, diferentes, logo f não é contínua em a.

Passo 4

Supondo g contínua em 0 com g(0)=0 e |f(x)| \le |g(x)|, tomamos \varepsilon>0. Pela continuidade de g existe \delta>0 tal que |x|<\delta implica |g(x)-g(0)| = |g(x)| < \varepsilon. Então |f(x)-f(0)| = |f(x)| \le |g(x)| < \varepsilon, logo f é contínua em 0.

Resposta

(a) f(0)=0 e, escolhendo δ=ε, temos |f(x)-f(0)|≤|x|<δ=ε, logo f é contínua em 0. (b) Por exemplo f(x)=x se x∈ℚ, e f(x)=0 se x∉ℚ; então |f(x)|≤|x|, mas f não é contínua em nenhum a≠0. © Da continuidade de g em 0 segue |g(x)|<ε para |x|<δ, e daí |f(x)-f(0)|≤|g(x)|<ε, logo f é contínua em 0.

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