Exercício 1.3 Avalie cada uma das seguintes integrais sobre a região D. , onde é o triângulo con vértices e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral dupla de sobre a região , que é um triângulo com vértices em , e . Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente integrando funções sobre uma região definida. Para resolver, vamos precisar entender como descrever a região de forma que possamos configurar a integral dupla.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região . O triângulo tem três vértices: , e . Para descrever essa região, precisamos encontrar as equações das retas que formam os lados do triângulo.
Passo 3
Vamos encontrar as equações das linhas que ligam os vértices:
Linha entre e :
Usamos a fórmula da inclinação:
Então, a equação é:
Linha entre e :
Inclinação:
Equação:
Linha horizontal entre e :
Essa é a linha .
Passo 4
Agora que temos as equações das retas, vamos descrever a região em termos de e . Observando o triângulo:
varia de a .
Para cada , varia de uma função à esquerda até uma função à direita.
A função à esquerda está na linha , resolvendo para :
A função à direita está na linha , resolvendo para :
Passo 5
Agora podemos configurar a integral dupla. Em termos de e , a integral fica:
Isso significa que para cada valor de entre e , varia de até .
Passo 6
Vamos primeiro integrar em relação a . A integral interna é: