Exercício 1.3 Avalie cada uma das seguintes integrais sobre a região D.
integral duplaD 6 x^2-40 y d A, onde D é o triângulo con vértices (0,3),(1,1) e (5,3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral dupla de 6x^2 - 40y sobre a região D, que é um triângulo com vértices em (0,3), (1,1) e (5,3). Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente integrando funções sobre uma região definida. Para resolver, vamos precisar entender como descrever a região D de forma que possamos configurar a integral dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região D. O triângulo tem três vértices: (0,3), (1,1) e (5,3). Para descrever essa região, precisamos encontrar as equações das retas que formam os lados do triângulo.

Passo 3

Vamos encontrar as equações das linhas que ligam os vértices:
  1. Linha entre (0,3) e (1,1):
    Usamos a fórmula da inclinação:
    m = 1 - 31 - 0 = -2
    Então, a equação é:
    y - 3 = -2(x - 0) implies y = -2x + 3
  2. Linha entre (1,1) e (5,3):
    Inclinação:
    m = 3 - 15 - 1 = 24 = 12
    Equação:
    y - 1 = 12(x - 1) implies y = 12x + 12
  3. Linha horizontal entre (0,3) e (5,3):
    Essa é a linha y = 3.

Passo 4

Agora que temos as equações das retas, vamos descrever a região D em termos de y e x. Observando o triângulo:
  • y varia de 1 a 3.
  • Para cada y, x varia de uma função à esquerda até uma função à direita.
A função à esquerda está na linha y = -2x + 3, resolvendo para x:
x = 3 - y2
A função à direita está na linha y = 12x + 12, resolvendo para x:
x = 2(y - 12) = 2y - 1

Passo 5

Agora podemos configurar a integral dupla. Em termos de y e x, a integral fica:
integraly=1^3 integralx=3 - y2^2y - 1 (6x^2 - 40y) , dx , dy
Isso significa que para cada valor de y entre 1 e 3, x varia de 3 - y2 até 2y - 1.

Passo 6

Vamos primeiro integrar em relação a x. A integral interna é:
integral3 - y2^2y - 1 (6x^2 - 40y) , dx
Integrando termo a termo:
integral 6x^2 , dx = 2x^3
integral -40y , dx = -40y x
Então, a integral interna resulta em:
2x^3 - 40y x g|3 - y2^2y - 1

Passo 7

Agora, substituímos os limites de x na expressão:
2(2y - 1)^3 - 40y (2y - 1) - [2(3 - y2)^3 - 40y (3 - y2)]
Vamos simplificar cada parte:
  1. Para x = 2y - 1:
2(8y^3 - 12y^2 + 6y - 1) - 40y(2y - 1) = 16y^3 - 24y^2 + 12y - 2 - 80y^2 + 40y = 16y^3 - 104y^2 + 52y - 2
  1. Para x = 3 - y2:
2(27 - 27y + 9y^2 - y^38) - 40y (3 - y2) = 54 - 54y + 18y^2 - 2y^38 - 120y - 40y^22
= 54 - 54y + 18y^2 - 2y^38 - 60y + 20y^2

Passo 8

Subtraindo as duas partes:
(16y^3 - 104y^2 + 52y - 2) - (54 - 54y + 18y^2 - 2y^38 - 60y + 20y^2)
Para simplificar, podemos multiplicar tudo por 8 para eliminar o denominador:
8(16y^3 - 104y^2 + 52y - 2) - (54 - 54y + 18y^2 - 2y^3) + 8(60y - 20y^2)
128y^3 - 832y^2 + 416y - 16 - 54 + 54y - 18y^2 + 2y^3 + 480y - 160y^2
Combinando termos semelhantes:
130y^3 - 1010y^2 + 950y - 70

Passo 9

Agora, voltamos à integral em relação a y:
integral1^3 130y^3 - 1010y^2 + 950y - 70 , dy
Integrando termo a termo:
integral 130y^3 , dy = 1304y^4 = 32.5y^4
integral -1010y^2 , dy = -10103y^3 approx -336.67y^3
integral 950y , dy = 9502y^2 = 475y^2
integral -70 , dy = -70y
Então, a integral se torna:
32.5y^4 - 336.67y^3 + 475y^2 - 70y g|1^3

Passo 10

Substituímos y = 3 e y = 1:
Para y = 3:
32.5(81) - 336.67(27) + 475(9) - 70(3) = 2625 - 9090.09 + 4275 - 210 = -0.09
Para y = 1:
32.5(1) - 336.67(1) + 475(1) - 70(1) = 32.5 - 336.67 + 475 - 70 = 100.83
Subtraindo:
-0.09 - 100.83 = -100.92

Resposta

A integral dupla avaliada sobre a região D é aproximadamente -100.92.

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