Sejam
e
. Determine o domínio, a imagem e a expressão que representa
e
:
e
Passo 1
Então, a gente tem duas funções aqui: $ f(x) = x + 4 $ e $ g(x) = x - 1 $. A tarefa é descobrir o domínio, a imagem e como ficam as composições $ f \circ g(x) $ e $ g \circ f(x) $. Vamos precisar entender o que é domínio, imagem e como compor funções para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio. O domínio de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores de entrada (x) que a função aceita. Aqui, como tanto $ f(x) $ quanto $ g(x) $ são funções lineares (são como linhas retas), elas aceitam qualquer número real. Então, o domínio de $ f $ e $ g $ é $ \mathbb{R} $.
Passo 3
Agora, a imagem (ou contradomínio). A imagem de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores de saída. Como $ f(x) = x + 4 $ e $ g(x) = x - 1 $ são funções lineares que vão de $ \mathbb{R} $ para $ \mathbb{R} $, a imagem também é $ \mathbb{R} $ para ambas.
Passo 4
Vamos compor as funções. A composição $ f \circ g(x) $ significa aplicar $ g $ primeiro e depois $ f $. Então:
Passo 5
Da mesma forma, a composição $ g \circ f(x) $ significa aplicar $ f $ primeiro e depois $ g $. Então:
Resposta
- Domínio de $ f $ e $ g $: $ \mathbb{R} $
- Imagem de $ f $ e $ g $: $ \mathbb{R} $
- Composição $ f \circ g(x) $: $ x + 3 $
- Composição $ g \circ f(x) $: $ x + 3 $