Sejam f: A subset R B subset R e g: C subset R D subset R. Determine o domínio, a imagem e a expressão que representa f circ g(x) e g circ f(x) :
f(x)=x+4 e g(x)=x-1

Passo 1

Então, a gente tem duas funções aqui: $ f(x) = x + 4 $ e $ g(x) = x - 1 $. A tarefa é descobrir o domínio, a imagem e como ficam as composições $ f \circ g(x) $ e $ g \circ f(x) $. Vamos precisar entender o que é domínio, imagem e como compor funções para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio. O domínio de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores de entrada (x) que a função aceita. Aqui, como tanto $ f(x) $ quanto $ g(x) $ são funções lineares (são como linhas retas), elas aceitam qualquer número real. Então, o domínio de $ f $ e $ g $ é $ \mathbb{R} $.

Passo 3

Agora, a imagem (ou contradomínio). A imagem de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores de saída. Como $ f(x) = x + 4 $ e $ g(x) = x - 1 $ são funções lineares que vão de $ \mathbb{R} $ para $ \mathbb{R} $, a imagem também é $ \mathbb{R} $ para ambas.

Passo 4

Vamos compor as funções. A composição $ f \circ g(x) $ significa aplicar $ g $ primeiro e depois $ f $. Então:
f circ g(x)

Passo 5

Da mesma forma, a composição $ g \circ f(x) $ significa aplicar $ f $ primeiro e depois $ g $. Então:
g circ f(x)

Resposta

  • Domínio de $ f $ e $ g $: $ \mathbb{R} $
  • Imagem de $ f $ e $ g $: $ \mathbb{R} $
  • Composição $ f \circ g(x) $: $ x + 3 $
  • Composição $ g \circ f(x) $: $ x + 3 $

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