Para cada uma das seguintes funções, decida quais são limitadas superior ou inferiormente no intervalo indicado, e quais assumem seu valor máximo ou mínimo. (Note que
pode ter essas propriedades mesmo se
não for contínua, e mesmo se o intervalo não for um intervalo fechado.)
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Passo 1
O enunciado pede para a função f(x)=x³ no intervalo (-1,1) determinar se ela é limitada superior e/ou inferior e se atinge máximo ou mínimo. O conteúdo aqui é teoria de funções limitadas, supremum, ínfimum e existência de extremos em intervalos que podem não ser fechados.
Passo 2
Primeiro lembramos que uma função é limitada superiormente se existe M tal que f(x)≤M para todo x no domínio, e limitada inferiormente se existe m tal que f(x)≥m. O supremum (sup) é o menor de todos os M possíveis e o ínfimum (inf) é o maior de todos os m possíveis. Se f atinge sup ou inf em algum ponto do intervalo, dizemos que há máximo ou mínimo, respectivamente.
Passo 3
Observando f(x)=x³, que é uma função polinomial estritamente crescente e contínua em ℝ, sua restrição a (-1,1) vai variar de limₓ→−1⁺ x³ até limₓ→1⁻ x³. Calculamos essas duas fronteiras:
As fronteiras não são atingidas porque o intervalo é aberto, mas os limites existem:
Logo, o ínfimum de f em (-1,1) é −1 e o supremum é 1. Como para todo x∈(-1,1) temos −1<x³<1, f é limitada acima e limitada abaixo.
Passo 4
Por fim, como em nenhum ponto interno de (-1,1) x³ chega a −1 ou a 1, não existe x₀∈(-1,1) tal que f(x₀)=inf ou f(x₀)=sup. Assim, não há mínimo nem máximo em (-1,1).
Resposta
f é limitada superior e inferiormente em (−1,1) com inf f=−1 e sup f=1; não assume mínimo nem máximo no intervalo.